봉선지구 수학과외

대표 문제에서 달라진 것은 평균을 구하는 조건입니다

다음 문제에서 학생이 “원래 평균 6 그대로다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 자료 4, 6, 8의 평균은 합 18을 자료의 개수 3으로 나눈 6입니다. 그런데 여기에 100을 추가하면 자료는 4개가 되고, 새로 구해야 하는 값은 원래 평균이 아니라 네 수의 전체 평균입니다. 따라서 먼저 자료의 합을 다시 만들고, 자료의 개수도 4로 세어야 합니다.

학생의 답은 100이라는 큰 수가 들어와도 평균이 변하지 않는다고 판단한 데서 어긋났습니다. 다만 이 한 답만으로 계산 실수인지 개념 혼동인지 바로 정하지는 않습니다. 교사는 “6은 무엇을 뜻하나요?”, “새 자료를 모두 더하면 얼마인가요?”, “평균은 합을 몇 개로 나누나요?”라고 묻고, 학생이 평균과 중앙값, 최빈값을 어떻게 구별하는지 확인합니다. 평균은 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값이고, 중앙값은 자료를 크기순으로 정렬했을 때 가운데에 오는 값이며, 최빈값은 가장 자주 반복되는 값입니다.

합과 정렬 위치를 나누어 확인하며 수정합니다

학생이 이유를 말하기 어렵다면 교사는 먼저 “100을 더하면 전체 합은 그대로일까요?”라고 조건을 짚습니다. 4+6+8=18이던 합에 100이 더해지므로 새 합은 118입니다. 이어서 “평균은 합을 자료의 개수로 나누는 값이므로, 자료가 몇 개인지도 다시 세어야 한다”고 설명합니다. 이 문제에서 100의 크기는 평균을 크게 바꾸지만, 평균을 구하는 식 자체는 전체 합을 전체 개수로 나눈다는 정의에 따라 세웁니다.

학생은 처음의 6을 답으로 유지하는 대신, 자료를 직접 나열해 4, 6, 8, 100으로 확인하고 식을 (4+6+8+100)÷4=118÷4=29.5로 고칩니다. 여기서 118은 네 자료의 합이고 4는 자료의 개수이므로, 최종 답 29.5와 중간 계산값을 구분해 말하도록 합니다. 동시에 자료를 정렬하면 4, 6, 8, 100이므로 가운데 두 수는 6과 8입니다. 이 문제는 평균을 묻고 있으므로 중앙값을 답으로 바꾸지 않지만, 두 개념이 서로 다른 기준으로 정해진다는 점을 함께 확인할 수 있습니다.

검산으로 계산 결과와 자료의 합을 연결합니다

수정 풀이를 마친 뒤에는 같은 식을 그대로 반복하기보다 결과가 원래 자료와 맞는지 확인합니다. 평균 29.5에 자료의 개수 4를 곱하면 29.5×4=118이 되어 네 자료의 합으로 돌아옵니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 것인지 확인하려면 문제와 정답, 앞서 적은 풀이를 가리고 자료 4, 6, 8, 100만 다시 보여 준 뒤 처음부터 해결하게 합니다. 혼자 막히면 평균의 뜻을 다시 설명할지, 합을 계산하는 과정만 도울지 구분하여 도움을 조절합니다. 다른 방식으로 풀었더라도 전체 합과 자료 개수에 근거해 29.5를 얻었다면 인정합니다.

새 조건에서 평균과 중앙값의 변화를 비교합니다

다음 적용 문제는 자료 3, 4, 5에서 최댓값 5를 20으로 바꾸었을 때 평균과 중앙값이 어떻게 변하는지 묻습니다. 원래 평균은 (3+4+5)÷3=4이고 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 수인 4입니다. 5를 20으로 바꾸면 자료는 3, 4, 20이 되어 평균은 (3+4+20)÷3=9로 오르지만, 중앙값은 여전히 4입니다. 바뀐 수가 최댓값이라는 조건 때문에 가운데 위치가 달라지지 않았고, 합만 크게 변했기 때문입니다.

필요할 때는 1, 2, 3에서 3을 30으로 바꾸는 비교 자료를 선택할 수 있습니다. 평균은 2에서 11로 변하지만 중앙값은 2로 같습니다. 다만 이것은 여러 예를 확인하는 자료이지 모든 경우의 성질을 증명하는 것은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 조건의 평균을 다시 구하고, 왜 중앙값은 달라지거나 그대로인지 자료의 합과 정렬 위치를 근거로 설명하는지를 확인합니다.