봉선지구 고등수학과외

“1부터 12까지의 정수 중 2의 배수이면서 3의 배수인 수의 개수”를 생각할 때, 먼저 경계값을 확인해야 한다. 2는 2의 배수이지만 3의 배수는 아니므로 두 조건을 동시에 만족하지 않는다. 반면 6과 12는 두 조건을 모두 만족한다. 따라서 2의 배수 목록과 3의 배수 목록을 각각 만든 뒤 공통 원소만 남겨야 한다.

6+4−2가 답이 되지 않는 이유

이렇게 답했다면 2의 배수 6개와 3의 배수 4개를 더하고 공통 원소 2개를 빼어 8이라고 계산한 셈이다. 그런데 6+4−2=8은 ‘2의 배수 또는 3의 배수’인 경우에 해당하는 계산이다. ‘또는’은 두 목록을 합칠 때 겹친 항목을 한 번 빼는 방식이고, ‘이면서’는 두 목록에서 겹치는 항목만 고르는 방식이다. 선택 결과에 순서가 있는지의 문제와 제한 조건을 계산에 반영했는지의 문제도 구분해야 한다. “또는”과 “이면서”에서 고르는 부분은 같은가?”라고 물어 두 가능성을 나누어 확인한다.

교사는 두 목록에서 서로 다른 결과가 무엇인지, 한 결과가 몇 번 세어졌는지를 표시하게 한다. 2의 배수는 {2, 4, 6, 8, 10, 12}, 3의 배수는 {3, 6, 9, 12}이다. 두 조건을 동시에 만족하는 수는 6의 배수라는 점도 함께 비교한다. 1부터 12까지의 6의 배수는 6과 12뿐이다. 학생은 계산 결과와 실제 조건의 성립 여부를 따로 적어, 식이 나타내는 경우와 문제에서 요구한 경우를 섞지 않도록 한다.

목록을 직접 만들며 수정 풀이 완성하기

학생이 직접 “2의 배수와 3의 배수 목록의 공통 원소는 6, 12이므로 2개”라고 고쳐 썼다면, 각각의 수가 두 조건을 모두 만족하는지도 대조하게 한다. 6은 2와 3으로 나누어떨어지고, 12도 마찬가지이므로 정답은 2개다. 반대로 2는 3의 배수가 아니므로 답 목록에서 제외된다. 이 확인은 단순한 수치 대입이 아니라 주어진 범위 안에서 두 조건을 동시에 만족하는 원소를 찾았다는 근거가 된다.

배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 식을 외우기 전에 문제의 연결어와 조건을 표시하게 한다. ‘이면서’에는 공통 부분, ‘또는’에는 합친 부분이라는 표시를 붙이고, 공통 원소가 중복으로 세어졌는지도 확인한다. 순열·조합 단원에서 순서가 중요한지 살피는 일과 마찬가지로, 경우의 수에서는 무엇을 하나의 결과로 볼지 먼저 정해야 한다.

조건을 바꾸어 다시 적용하고 다음 풀이를 점검하기

필수 자료는 “1부터 12까지의 정수, 2의 배수 목록, 3의 배수 목록”으로 남겨 둔다. 풀이와 정답, 공통 원소 표시를 가린 상태에서 “2의 배수 또는 3의 배수인 수의 개수”를 다시 시작한다. 이번에는 두 목록의 공통 원소 {6, 12}를 표시하고, 6+4−2=8을 적용한다. 직접 만든 목록 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}과 대조하면 8개임을 확인할 수 있다.

이때 표현만 ‘이면서’에서 ‘또는’으로 바뀐 것인지, 실제 조건과 범위가 달라진 것인지 구별한다. 수정 전후 풀이 단계를 섞어 제시하고 동시에 만족하는 경우에 맞는 단계를 골라 순서를 복원하게 하면, 계산식만 기억하는지 조건에 맞게 선택하는지 드러난다. 다른 조건의 문제에서도 작은 목록을 직접 만들고 중복되거나 빠진 대상을 표시하면 다음 풀이의 근거까지 스스로 점검할 수 있다.