행암동 수학과외

숫자 세 개를 배열할 때 생기는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 숫자 1, 2, 3을 한 번씩 써서 세 자리 수를 만들 때, 만들 수 있는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 한 학생이 “3+2+1=6이므로 덧셈 법칙이다.”라고 적었다면, 답으로 나온 6이라는 수와 그 수를 만든 설명을 나누어 살펴볼 필요가 있습니다. 실제로 만들 수 있는 수는 123, 132, 213, 231, 312, 321로 모두 6개이지만, 덧셈식이 문제의 선택 과정을 나타내는 것은 아닙니다.

세 자리 수의 첫째 자리에는 1, 2, 3 중 하나를 고를 수 있어 3가지가 있습니다. 첫째 자리를 정하면 둘째 자리에는 남은 두 숫자 중 하나를 고를 수 있고, 마지막 자리에는 남은 한 숫자가 들어갑니다. 각 자리에서 선택이 이어지고 모든 선택이 서로 결합하므로, 이 문제의 경우의 수는 3×2×1=6가지입니다. 여기서 3, 2, 1은 더해지는 서로 다른 경우의 묶음이 아니라 첫째·둘째·셋째 자리를 선택하는 단계의 수입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 처음부터 “덧셈 법칙을 틀렸다”고 단정하기보다 학생이 3, 2, 1을 무엇으로 생각했는지 묻습니다. 첫째 자리를 정한 뒤 둘째 자리 선택이 다시 이어지는지, 아니면 서로 겹치지 않는 별개의 경우를 더한 것인지 말이나 간단한 숫자 배열로 확인합니다. 학생이 경우 나누기의 뜻은 설명하지만 계산 결과가 달라진다면, 개념보다 처음 읽은 조건과 식을 세운 과정을 다시 살핍니다. 반대로 3+2+1=6이라는 결과만 보고 식의 의미를 설명하지 못한다면, 숫자가 우연히 같은 결과를 주는 것과 문제의 선택 구조가 맞는 것은 다르다는 점을 함께 확인합니다.

덧셈 법칙은 한 번에 여러 선택을 하는 것이 아니라, 서로 겹치지 않는 경우를 나누어 셀 때 각 경우의 수를 더하는 방법입니다. 이 문제처럼 첫째 자리를 고른 뒤 둘째 자리와 셋째 자리를 차례로 정하는 상황에서는 앞 단계의 선택마다 뒤 단계의 선택이 연결되므로 곱셈 법칙을 적용합니다. 이 설명은 숫자 1, 2, 3을 각각 한 번씩 사용한다는 조건이 있을 때의 판단입니다.

설명 뒤 학생이 다시 세우는 풀이

교사가 첫째 자리의 선택만 함께 짚어 “첫째 자리에 1을 놓으면 뒤에는 어떤 선택이 남는가?”라고 묻고, 학생이 이어지는 단계를 직접 시도하게 합니다. 막히면 1로 시작하는 123, 132 두 가지를 함께 확인한 뒤, 2나 3으로 시작할 때도 같은 구조가 반복되는지 살펴봅니다. 그러면 학생은 처음의 3+2+1에서 숫자를 더한 판단을 바꾸어, 첫째 자리 3가지, 둘째 자리 2가지, 셋째 자리 1가지라는 의미를 문제 조건과 연결합니다.

학생은 수정한 풀이를 3×2×1=6으로 적고, 각 수가 어느 자리를 정하는 선택인지 설명합니다. 이어서 123, 132, 213, 231, 312, 321을 직접 나열해 누락이나 중복이 없는지 확인합니다. 나열한 결과가 6개이고 곱셈식의 결과도 6이므로, 이번에는 단순히 답만 맞힌 것이 아니라 식과 실제 결과가 같은 선택 과정을 나타내는지 확인할 수 있습니다. 이후에는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제 조건만 보고 다시 시작하게 하며, 혼자 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제로 상의 3종과 하의 3종 중 하나씩 고르는 경우를 생각해 보겠습니다. 상의를 하나 고를 때마다 하의 3종을 각각 연결할 수 있으므로, 선택 단계는 3가지와 3가지가 이어집니다. 따라서 경우의 수는 3×3=9가지입니다. 3+3=6과 일치하지 않는다는 점에서, 앞 문제의 덧셈 결과가 우연히 맞았을 뿐 선택 구조를 설명한 것은 아니었음을 더 분명히 확인할 수 있습니다.

다음 단계에서는 “두 명을 고를 때는 항상 순서를 구분한 결과를 2로 나눈다.”라는 설명이 모든 경우에 맞는지 살펴볼 수 있습니다. 예를 들어 6명 중 대표와 부대표를 겸임 없이 한 명씩 뽑으면 대표 6가지에 대해 부대표 5가지가 이어지므로 6×5=30가지입니다. 대표와 부대표는 역할이 달라 순서를 바꾼 결과가 같은 선택이 아니므로 2로 나누지 않습니다. 새 문제를 해결한 뒤에는 학생이 풀이와 정답을 가리고 조건만 보고 다시 경우의 수를 세는지, 덧셈과 곱셈 중 어느 방법을 선택했는지 그 이유를 설명하는지, 역할이나 선택 조건이 바뀌어도 같은 방법을 무조건 적용하지 않는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.