부곡동 고등수학과외

중점에서 끝점을 찾는 달라진 조건부터 확인하기

좌표 풀이가 익숙해졌다면 먼저 A(−2,1)과 B의 중점이 M(1,3)일 때 B를 구해 보자. 이 문제는 내분점을 직접 구하는 기본 문제와 표현은 다르지만, 두 끝점 좌표를 가중하여 기준점을 만든다는 점은 같다. 중점은 두 끝점에 같은 가중치를 주므로 A+B=2M이다. 따라서 B=2M−A이고, B=(2·1−(−2), 2·3−1)=(4,5)가 된다. 구한 좌표를 바로 정답으로 받아들이지 말고 A와 B의 중점을 다시 계산해 ((−2+4)/2, (1+5)/2)=(1,3)인지 대조한다. 이처럼 조건이 실제로 바뀐 문제에서는 새 등식을 세우지만, 단순히 질문의 표현만 바뀐 경우에는 같은 좌표 관계를 정확히 읽어야 한다.

내분 비를 거리의 위치로 바꾸어 확인하기

배움노트 고등수학 수업에서 다루는 기본 예시로 A(0,0), B(6,3)을 잇는 선분을 AP:PB=1:2로 내분하는 점 P를 생각해 보자. 이렇게 답했다면 먼저 P가 A에서 전체 선분의 몇 분의 몇만큼 이동한 위치인지 말하게 한다. AP가 전체 AB의 1/3이므로 P는 A에 가까운 점이어야 한다. 그런데 A에 1, B에 2를 곱해 P=(4,2)라고 했다면, 계산 결과가 실제로 어느 끝점에 가까운지부터 살펴야 한다. (4,2)는 B에 더 가까우며, AP:PB가 2:1이 되는 위치에 해당한다. 다만 이 한 번의 오답만으로 원인을 단정하지 않는다. 내분 비에 대응하는 가중치를 뒤집었는지, 중점에서 끝점을 역산하는 과정과 혼동했는지를 확인 질문으로 나눈다. 학생이 A에서 B로 가는 변위와 이동량을 직접 표시하게 한 뒤 다음 식을 이어 쓰게 한다.

수정 풀이를 직접 쓰고 조건을 남겨 다시 검산하기

AP는 AB의 1/3이므로 P=A+(B−A)/3이다. 학생이 이 식에 좌표를 대입하면 P=(0,0)+((6,3)−(0,0))/3=(2,1)로 정리된다. 교사는 식을 끝까지 대신 완성하지 않고, 학생이 내분 위치와 계산 결과를 직접 연결하도록 기다린다. 정답은 (2,1)이며, 계산 뒤에는 성립 조건을 별도로 적는다. AP의 변위는 (2,1), PB의 변위는 (4,2)이므로 두 변위의 크기는 각각 √5와 2√5이고 그 비는 1:2이다. 대표 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 문제와 조건만 남겨 다시 시작하면, 학생은 P의 좌표뿐 아니라 AP:PB=1:2라는 조건과 검산 근거까지 적어야 한다. 이어 중점 문제에서는 좌표의 합이 중점 좌표의 두 배라는 관계로 끝점을 역산한다. 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 먼저 구분하고, 내분점은 거리 비로, 중점은 좌표의 합으로 확인하면 다음 좌표 문제에서도 가중치를 안정적으로 적용할 수 있다.