서완산동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. “정수 n이 4의 배수이면 2의 배수이다.”라는 명제가 참인지 판단하는 문제입니다. 처음에는 “2의 배수라는 조건과 4의 배수라는 조건은 같다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 4의 배수이면 2의 배수라는 정방향의 참·거짓을 판단한 것이 아니라, 두 조건이 서로 같다고 바꿔 해석한 데서 문제가 생겼습니다. ‘4의 배수이면 2의 배수이다’는 4의 배수인 수가 반드시 2의 배수인지 묻는 말이고, 두 조건이 같다는 주장은 2의 배수인 수가 모두 4의 배수라는 반대 방향까지 포함합니다.

교사는 먼저 학생에게 “문제에서 먼저 가정한 조건은 무엇이고, 마지막에 판단할 결론은 무엇인가요?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하지 못하면 교사가 가정: n은 4의 배수, 결론: n은 2의 배수라고 나누어 적고, 문제의 화살표가 어느 방향으로 향하는지 함께 확인합니다. 이때 오답 하나만으로 계산 실수라고 단정하지 않고, 조건을 같다고 생각한 이유와 ‘이면’의 방향을 구분하는지 살펴봅니다.

조건을 식으로 바꾸어 수정하기

교사는 정수 n이 4의 배수라는 조건을 n=4k로 나타낼 수 있다고 설명합니다. 여기서 k는 n을 4로 나누었을 때의 정수 배수에 해당하는 값입니다. 그러면 n=4k=2(2k)로 다시 쓸 수 있습니다. 2k도 정수이므로 n은 2의 배수입니다. 따라서 주어진 정방향 명제는 참입니다. 중요한 점은 4의 배수라는 가정에서 출발해 2의 배수라는 결론에 도달했다는 것이며, 두 조건이 같다고 결론 내린 것은 아닙니다.

학생은 처음의 문장을 그대로 두지 않고 “4의 배수이면 2의 배수라는 정방향은 참이지만, 두 조건이 같다고 말하려면 반대 방향도 확인해야 한다.”라고 고쳐 말한 뒤 다시 풀이합니다. 먼저 n=4k를 적고, 이를 n=2(2k)로 바꾸어 2의 배수임을 설명합니다. 이어서 정방향과 반대 방향을 따로 적어 보면서, 문제에서 요구한 판단은 정방향의 참·거짓이라는 점을 답에 반영합니다. 교사는 식을 전부 대신 풀어 주기보다 n=4k를 세우는 단계까지 함께 확인하고, 그다음 식을 어떤 형태로 바꾸어야 하는지는 학생이 직접 시도하게 돕습니다.

역명제로 두 조건이 같지 않음을 확인하기

정방향이 참이라는 사실만으로 역도 참이라고 할 수는 없습니다. 역명제는 “정수 n이 2의 배수이면 4의 배수이다.”입니다. 이 명제가 참인지 확인하려면 2의 배수이지만 4의 배수가 아닌 정수를 찾으면 됩니다. n=2는 2의 배수이지만 4의 배수는 아니므로 역명제는 거짓입니다. 따라서 처음 답에서 바꾸어야 할 부분은 정방향의 결론이 아니라, 정방향이 참이라는 사실을 두 조건의 동일성으로 확대했던 판단입니다.

검산할 때는 같은 식을 반복해서 쓰기보다 역명제의 반례 n=2를 대입합니다. 2는 2로 나누어떨어지지만 4로는 나누어떨어지지 않으므로 두 조건은 동치가 아닙니다. 학생이 풀이 순서를 따라 적기만 했다면 수정 풀이와 결론을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 해결하게 합니다. 이때 학생이 n=4k에서 막히는지, 정방향과 역을 구분하지 못하는지에 따라 설명의 양을 조절하고, 다른 방식이라도 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

이제 기본 문제와 다른 새 문제를 제시합니다. 자연수 n에 대해 “6의 배수이면 3의 배수이다.”의 역이 참인지 판단해 보게 합니다. 역은 “3의 배수이면 6의 배수이다.”입니다. 이 명제는 거짓입니다. n=3은 자연수이고 3의 배수이지만 6의 배수는 아니기 때문입니다. 학생은 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 수치와 조건만 보고, 역을 따로 만든 뒤 반례를 찾아 결론을 설명합니다. 이후에는 “정방향 명제가 참이면 그 역도 항상 참인가?”를 다시 묻고, 원명제는 참이어도 역명제는 거짓일 수 있다는 점을 말로 설명하는지 확인합니다. 다음 수업에서는 학생이 가정과 결론을 분리해 적고, 필요한 경우 반례로 역을 점검하는 과정을 새 조건에서도 스스로 적용하는지를 중심으로 살펴볼 수 있습니다.