풍남문 수학과외

대표 문제에서 어긋난 조건 읽기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “10보다 작은 소수를 모두 쓰라.”는 문제에 “1, 3, 5, 7이다.”라고 적었다면, 3·5·7만 고른 계산이 틀린 것이 아니라 1을 소수에 포함한 판단과 2를 빠뜨린 판단을 함께 살펴봐야 합니다. 이 문제에서 ‘10보다 작은’은 10을 포함하지 않는 범위이므로 1부터 9까지의 수를 후보로 확인할 수 있습니다. 그러나 소수는 1보다 큰 자연수 중 양의 약수가 정확히 두 개인 수입니다. 따라서 1은 약수가 1 하나뿐이어서 소수가 아니고, 2는 약수가 1과 2 두 개이므로 소수에 포함됩니다.

오답의 원인을 나누어 확인하기

교사는 처음 답을 곧바로 단순한 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 먼저 “1은 어떤 수로 나누어떨어지나요?”, “1의 약수는 몇 개인가요?”, “2는 1과 2 외에 다른 약수가 있나요?”라고 묻고, 약수의 개수를 세는 과정에서 소수의 정의를 적용했는지 확인합니다. 학생이 “소수는 홀수”처럼 설명한다면 개념을 잘못 연결했을 가능성을 살펴볼 수 있습니다. 반대로 소수의 정의는 말할 수 있지만 1을 포함했다면, 정의를 문제의 후보에 적용하는 단계에서 빠뜨린 것인지 다시 확인합니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사가 1의 약수와 2의 약수를 함께 적어 보이며 한 단계씩 비교하게 할 수 있습니다.

조건을 걸러 내며 수정 풀이 만들기

교사는 문제의 범위와 소수의 정의를 따로 짚습니다. 먼저 10보다 작은 자연수 가운데 확인할 수를 1부터 9까지 놓고, 각 수가 1보다 큰지 살핍니다. 이때 1은 정의의 첫 조건인 ‘1보다 큰 자연수’를 만족하지 않으므로 약수를 더 세기 전에 제외합니다. 다음으로 2는 짝수이지만 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지므로 소수입니다. 3, 5, 7도 각각 1과 자기 자신 외의 약수가 없어 포함됩니다. 학생은 처음 답에서 1을 빼고 2를 넣은 뒤, “1은 약수가 하나라 소수가 아니고, 2는 짝수여도 약수가 정확히 두 개라 소수이다.”라고 문제의 조건과 연결해 답을 다시 씁니다. 단순히 숫자에 표시만 하는 데서 멈추지 않고, 최종 답을 2, 3, 5, 7로 완성하도록 합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

검산할 때는 같은 목록을 그대로 반복하기보다 빠진 수와 제외한 수의 성질을 확인합니다. 4, 6, 8, 9는 각각 1과 자기 자신 외에도 약수가 있으므로 소수가 아닙니다. 1은 약수가 하나뿐이므로 역시 제외됩니다. 이렇게 확인하면 2, 3, 5, 7이 범위 안에서 남는다는 결론과 소수의 정의가 서로 맞습니다. 이후 대표 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 1부터 후보를 다시 살펴보게 하고, 막힌 지점이 개념 이해인지 약수 계산인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로는 “20 이상 30 이하인 소수를 모두 쓰라.”를 적용할 수 있습니다. 이번에는 양 끝 20과 30을 포함해 확인하되, 두 수는 합성수이므로 소수가 아닙니다. 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28도 1과 자기 자신 외의 약수가 있어 제외되고, 23과 29는 약수가 정확히 1과 자기 자신뿐이므로 정답은 23, 29입니다. 추가로 “6보다 작은 소수”를 확인하면 정답은 2, 3, 5입니다. 이 문제는 작은 홀수 목록에 1을 넣는 방식만으로는 부족하며, 짝수인 2도 소수가 될 수 있음을 구분하게 합니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 뒤 새 범위에서도 후보를 직접 걸러 내고, 각 수를 포함하거나 제외한 근거를 설명하는지 확인합니다.