서부신시가지 수학과외

대표 문제에서 3×2가 나온 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 숫자 0, 1, 2 중 서로 다른 두 개를 골라 두 자리 수를 만들 때 몇 개인지 묻자, 학생이 “각 자리마다 3개와 2개를 고를 수 있으므로 3×2=6개다.”라고 풀었습니다. 서로 다른 숫자를 사용해야 한다는 조건과 일의 자리의 선택 수를 고려하려 한 점은 보이지만, 두 자리 수의 십의 자리에 0을 쓸 수 있는지는 따로 확인해야 합니다.

두 자리 수에서 십의 자리는 0이 될 수 없습니다. 0을 십의 자리에 놓으면 01처럼 보이지만, 이는 두 자리 수가 아니라 한 자리 수 1을 나타냅니다. 따라서 십의 자리에는 1과 2, 두 가지 숫자만 올 수 있습니다. 십의 자리를 1로 정하면 일의 자리에는 남은 0과 2 중 하나를 놓아 10 또는 12를 만들 수 있습니다. 십의 자리를 2로 정하면 20 또는 21을 만들 수 있습니다. 그러므로 가능한 수는 10, 12, 20, 21이고, 정답은 4개입니다.

어느 조건과 연산에서 어긋났는지 확인하기

교사는 처음부터 계산 실수라고 단정하지 않고 “왜 십의 자리에서 숫자 3개를 모두 사용할 수 있다고 생각했을까?”라고 묻습니다. 학생이 단순히 0, 1, 2를 모두 첫 번째 선택지로 센 것인지, 두 자리 수의 의미를 놓친 것인지 확인하기 위해 십의 자리에 0을 넣었을 때 만들어지는 수를 직접 말해 보게 합니다. 학생이 01을 두 자리 수라고 설명한다면 문제의 요구를 해석하는 단계가 먼저 필요하고, 0을 제외해야 한다는 것은 알지만 3×2를 썼다면 선택 수를 세는 과정에서 식을 잘못 세운 것인지 살펴봅니다.

이 문제에서는 두 자리 수라는 조건이 첫 번째 자리의 선택을 제한합니다. 또 숫자를 서로 다르게 사용하므로 일의 자리에서는 이미 고른 숫자를 다시 사용할 수 없습니다. 교사는 이 두 조건을 한꺼번에 외우게 하기보다, 먼저 “첫 번째 자리에 가능한 숫자는 무엇인가?”를 묻고, 그다음 “하나를 골랐을 때 남은 숫자는 몇 개인가?”를 확인합니다. 학생이 설명하기 어려워하면 0을 십의 자리에 놓은 예 하나를 함께 살펴본 뒤, 1과 2를 십의 자리에 놓는 경우는 학생이 이어서 세도록 돕습니다.

조건을 반영해 다시 세는 풀이

학생은 대표 문제를 다시 보면서 처음의 3×2에서 첫 번째 선택 수를 3이 아니라 2로 고칩니다. 십의 자리에는 1과 2만 가능하므로 2가지이고, 십의 자리를 하나 정하면 서로 다른 숫자를 써야 하므로 일의 자리에는 남은 두 숫자 중 하나를 선택할 수 있어 2가지입니다. 따라서 경우의 수는 2×2=4입니다.

이때 곱셈은 숫자를 무작정 곱하는 연산이 아니라, 첫 번째 선택과 그 각각에 이어지는 두 번째 선택을 빠짐없이 세기 위해 사용합니다. 학생은 십의 자리를 1로 정한 경우 10, 12를 쓰고, 2로 정한 경우 20, 21을 써서 식의 결과가 실제 목록과 맞는지 확인합니다. 처음 답을 바꾼 이유도 “0은 십의 자리에 올 수 없어서 첫 번째 선택이 3가지가 아니라 2가지이고, 서로 다른 숫자를 써야 하므로 두 번째 자리는 두 가지다.”라고 문제 조건과 연결해 설명하도록 합니다.

목록으로 검산하고 새 조건에 적용하기

이번 검산에서는 같은 곱셈을 반복하기보다 가능한 수를 직접 적어 봅니다. 10, 12, 20, 21은 모두 두 자리 수이고 각 수에서 두 숫자가 서로 다릅니다. 01이나 02는 두 자리 수로 세지 않으며, 11이나 22는 서로 다른 두 숫자를 사용한다는 조건에 맞지 않습니다. 이렇게 조건에 맞는 결과만 목록으로 확인하면 4라는 답이 문제의 요구와 일치하는지 알 수 있습니다. 학생이 풀이 순서를 외워 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 숫자와 조건만 보고 다시 경우를 나누게 합니다.

새 적용 문제는 숫자 0, 2, 5를 모두 한 번씩 사용해 세 자리 수를 만드는 경우입니다. 이번에는 백의 자리에 0을 쓸 수 없으므로 2 또는 5, 두 가지가 가능합니다. 백의 자리를 정한 뒤 십의 자리에는 남은 두 숫자 중 하나, 일의 자리에는 마지막 한 숫자가 남습니다. 따라서 2×2×1=4개이고, 실제로 205, 250, 502, 520입니다. 기본 문제와 숫자와 자리 수는 달라졌지만, 첫 자리에서 0을 제외하고 남은 선택 수를 차례로 곱한다는 판단은 그대로 적용됩니다. 다음에는 학생이 정답만 고르는지보다, 첫 자리의 조건과 각 자리의 선택 수를 근거와 함께 다시 구성하는지를 확인합니다.

필요하다면 “두 명을 고를 때는 항상 순서를 구분한 결과를 2로 나눈다.”는 설명도 비교해 볼 수 있습니다. 학생 7명 중 대표와 부대표를 한 명씩 뽑는 경우에는 대표와 부대표라는 역할이 다르므로 7×6=42가지이며, 역할을 바꾼 경우는 같은 결과가 아닙니다. 이 비교를 통해 학생이 단순히 숫자를 나누는 것이 아니라, 결과에서 순서나 역할이 구분되는지 먼저 판단하는지 다음 수업에서 확인할 수 있습니다.