서완산동 고등수학과외

“좌우에서 함숫값이 같은 0으로 가까워지는가?”에서 멈춘 이유

계산이 “좌우에서 함숫값이 같은 0으로 가까워지는가?”에서 멈췄다면, 모서리가 보인다는 인상과 연속의 정의를 구분하는 확인이 필요하다. 함수 f(x)=|x|가 x=0에서 연속인지 묻는 상황에서 이렇게 답했다면 어떨까. “그래프에 모서리가 있으므로 불연속이다.” 그래프의 모양만으로 연속 여부를 결정한 오답이다. 먼저 x=0에서 함수값 f(0)이 존재하는지, x가 0에 가까워질 때 함수값의 극한이 존재하는지, 두 값이 서로 같은지를 따로 확인해야 한다. 좌우에서 |x|의 값이 모두 0으로 가까워지는지 직접 살펴보고, 정의역에 0이 포함되는지도 표시하게 한다.

연속과 미분가능성을 식으로 나누어 확인하기

한 점에서 연속이려면 f(0)이 정의되어 있고 lim(x→0)f(x)가 존재하며 그 극한이 f(0)과 같아야 한다. 이 함수에서는 f(0)=0이고, x가 0의 왼쪽에서 가까워져도 |x|는 0으로, 오른쪽에서 가까워져도 0으로 가까워진다. 따라서 lim(x→0)|x|=0=f(0)이므로 x=0에서 연속이다. 반면 모서리의 유무는 미분가능성과 관련된 별도 판단이다. 좌우 기울기는 각각 -1과 1로 달라서 x=0에서 미분가능하지 않지만, 미분가능하지 않다는 사실이 곧 불연속이라는 뜻은 아니다. “연속이면 모서리가 없다”는 설명은 거짓이다. 배움노트 고등수학 수업에서 이 장면을 다룰 때도 연속의 세 조건과 기울기 판단의 조건을 한 문장으로 섞지 않도록, 학생이 식과 말로 각각 대조하게 한다.

조건을 가린 뒤 접합점에 다시 적용하기

같은 표현을 외운 것인지 조건이 달라져도 적용할 수 있는지 확인하려면, 풀이와 정답을 가리고 문제와 필수 조건만 남긴다. 다음 함수가 x=1에서 연속이 되도록 하는 a를 처음부터 세워 보게 한다. f(x)=x²(x≤1), f(x)=ax+1(x>1). 먼저 접합점에서 실제 함수값은 왼쪽 식으로 계산되어 f(1)=1이다. 오른쪽에서 다가갈 때의 극한은 a+1이므로, 연속 조건은 1=a+1이다. 따라서 a=0이다. a=0이면 오른쪽 식은 상수 1이 되고, 왼쪽 x²도 x=1에서 1로 가까워져 세 값이 일치한다. 여기서 좌우 기울기가 같은지는 연속 조건에 포함되지 않는다.

재시도에서는 교사가 식을 대신 제시하지 않고 “접합점의 함수값과 양쪽 극한을 각각 무엇과 비교할까?”라는 질문만 남긴다. 학생은 필요한 값을 직접 계산하고 원래 조건과 대조해야 한다. 표현만 바꾼 문제와 실제 조건이 바뀐 문제도 구별한다. 끝값만 보고 구간 전체가 이어진다고 결론 내리기 전에는 중간에 끊기는 지점이나 정의되지 않는 입력이 없는지 확인하고, 사잇값 정리를 사용할 때는 해당 구간에서 함수가 연속이라는 조건까지 점검한다.