성환생활권 고등수학과외

점 P(2,−3,4)를 xy평면에 정사영하는 기본 문제와, 같은 점을 x축에 정사영하는 문제를 나란히 놓으면 정사영의 조건이 결론을 어떻게 바꾸는지 분명해진다. 점을 수직으로 내린다는 뜻은 같지만, 내려갈 대상이 평면인지 직선인지에 따라 남는 좌표와 사라지는 좌표가 달라진다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 외우기보다 대상과 방향을 먼저 표시하고, 학생이 직접 좌표의 변화를 설명하도록 연습한다.

xy평면에 내릴 때, 어느 좌표가 바뀌는가

문제는 “점 P(2,−3,4)를 xy평면에 정사영한 점을 구하라”이다. 이렇게 답했다면 오답은 (0,0,4)이다. 이 결과가 단순 계산 실수인지, 공간에서 보이는 모양만 보고 평행이나 수직을 추정한 것인지는 오답 하나만으로 확정할 수 없다. 정사영에서 길이와 넓이의 배율을 혼동했을 가능성도 확인해야 한다.

먼저 “xy평면에 수직으로 이동하면 어느 좌표만 바뀌는가?”라고 묻는다. xy평면은 z=0으로 나타내므로, 이 평면에 수직인 방향은 z축 방향이다. 따라서 x와 y는 그대로 유지되고 z만 0으로 바뀐다. 학생이 중간 결과를 직접 적으면 P에서 내려가는 선분의 변위가 (0,0,−4)임을 확인할 수 있다. 최종 판단은 교사가 대신 말하지 않고, 학생이 “x와 y는 유지하고 z를 0으로 바꾸므로 정사영은 (2,−3,0)”이라고 문장으로 쓰게 한다.

잘못된 식과 주어진 조건을 대조하기

(0,0,4)는 x와 y를 모두 0으로 만들고 z를 유지한 점이다. 그러나 이 점은 z=0이라는 xy평면의 조건을 만족하지 않는다. 또한 P와 (0,0,4)를 잇는 변위는 (−2,3,0)이어서 xy평면 안의 방향이지, xy평면에 수직인 방향이 아니다. 그러므로 모양이 평면에 닿아 보이는지보다 대상 평면의 방정식과 수선의 방향을 먼저 대조해야 한다.

이제 풀이와 정답을 가린 채 문제와 조건만 남긴다. 학생은 정사영점을 Q라 놓고, Q가 xy평면 위이므로 z좌표가 0이라는 사실과 P, Q를 잇는 선이 z축 방향이어야 한다는 사실을 각각 표시한다. 두 조건을 만족하는 Q는 (2,−3,0)이다. P와 Q를 잇는 선의 변위가 (0,0,−4)이고, Q가 실제로 z=0에 있으므로 좌표와 방향을 함께 검산할 수 있다.

x축으로 바꿔 다시 적용하기

같은 정사영의 뜻을 유지하되 대상만 x축으로 바꾼다. 문제는 “점 P(2,−3,4)를 x축에 정사영한 점을 구하라”이다. 이번에는 x축 위의 점을 (t,0,0)으로 놓는다. P와 이 점 사이의 거리 제곱은 (t−2)²+9+16이고, 이는 t=2에서 최소가 된다. 따라서 정사영은 (2,0,0)이다.

두 문제를 비교하면 xy평면에서는 x,y가 남고 z가 0이었지만, x축에서는 x만 남고 y,z가 0이 된다. 연결선의 변위는 (0,−3,4)이며 x축 방향에 수직이므로 조건에 맞는다. 다음에는 오답의 마지막 줄을 비워 두고 학생이 결론과 이유를 직접 채우게 한다. 문제를 다시 풀 때는 풀이와 정답을 가린 상태에서 대상이 평면인지 직선인지, 바뀌는 좌표가 무엇인지 먼저 표시하게 하며, 조건이 달라졌다는 사실을 놓치지 않는지 확인한다.