신흥동 중등수학과외

“(3/5)×(3/4)=9/20”에서 시작한 질문

학생은 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있는 통에서 공을 한 개씩 두 번 뽑는 문제를 보고, 꺼낸 공을 돌려놓지 않는 조건에서 “(3/5)×(3/4)=9/20”이라고 적었다. 첫 번째 빨간 공을 뽑을 확률을 3/5로 쓴 부분은 조건에 맞았다. 그러나 두 번째 확률에서 분모만 5에서 4로 줄이고 분자는 빨간 공 3개로 그대로 둔 것이 처음 달라진 판단이었다. 신흥동중등수학과외 수업에서는 계산 결과만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 공의 상태를 어떻게 생각했는지 먼저 확인했다.

교사는 짧게 물었다. “첫 빨간 공이 통 안에 남아 있니?” 학생이 첫 번째 공을 통 밖에 따로 그려 두면서도 두 번째 분자를 3으로 썼다면, 말로는 ‘꺼낸 공을 돌려놓지 않는다’를 알고 있어도 성공하는 빨간 공의 개수까지 함께 바꾸지는 않은 것이다. 반대로 빨간 공이 남아 있다고 대답한 뒤 계산만 잘못한 경우라면, 기준과 계산을 나누어 살펴야 한다. 이 장면에서는 학생이 첫 공을 통 밖에 표시했으므로, 계산 실수보다 조건을 식으로 옮기는 과정이 핵심인지 확인하기로 했다.

빨간 공도 하나 빠진다는 한 단계의 표시

교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고 통 그림 옆에 빨간 공 3개 중 하나를 지우는 것만 보여 주었다. “첫 번째로 빨간 공이 빠졌다면, 다음에 빨간 공은 몇 개 남지?” 학생은 3개에서 1개를 빼어 빨간 공 2개라고 답했다. 이어 “통 안의 전체 공은 몇 개일까?”라는 질문에는 처음 5개에서 뽑힌 1개를 빼어 4개라고 적었다. 도움의 범위는 빨간 공도 하나 빠져 두 개가 남는다는 관계를 확인하는 데 그쳤고, 다음 식은 학생이 직접 결정하게 했다.

학생은 자신의 첫 식에서 두 번째 분자만 바꾸는 것이 아니라, 첫 번째 추출 뒤의 상태를 한 줄로 남겼다. 첫 빨강 확률은 3/5, 이후 빨강 2개와 전체 4개이므로 두 번째 빨강 확률은 2/4라고 쓴 뒤, (3/5)×(2/4)=6/20=3/10으로 고쳤다. 처음 풀이와 달라진 부분은 분모만 감소시키지 않고, 꺼낸 색에 맞춰 성공 개수도 줄인 점이다. 학생은 “빨간 공을 하나 꺼내 통 밖에 두었으니 남은 빨간 공은 2개”라고 자신의 표시를 근거로 설명했다.

곱셈식과 다른 방식으로 확인하기

수정된 답을 같은 곱셈식만 반복해 확인하지 않기 위해 각 공에 번호를 붙였다. 첫 번째와 두 번째 추출에서 순서를 구분하면 가능한 결과는 5×4=20개이다. 두 번 모두 빨간 공인 순서 있는 결과는 첫 번째 빨간 공 3가지와 두 번째 빨간 공 2가지를 조합한 3×2=6개이므로, 확률은 6/20=3/10이다. 이 방법은 두 번째 추출 때 전체 공과 빨간 공이 각각 하나씩 줄었다는 조건을 별도로 확인하게 한다. 학생의 수정 답 3/10과 번호를 붙인 결과가 같으므로, 계산뿐 아니라 공의 상태를 반영했는지도 점검할 수 있다.

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 빨간 공 3개와 파란 공 2개에서 한 개를 뽑아 색을 확인한 뒤, 공을 다시 통에 넣고 섞어 한 번 더 뽑는 경우다. 두 번 모두 빨강일 확률을 묻자 학생은 먼저 “이번에는 첫 번째로 뽑은 공이 다시 들어간다”고 조건에 표시했다. 따라서 두 번째 시행에서도 빨간 공 3개와 전체 공 5개가 유지된다. 매번 빨강 확률이 3/5이므로 (3/5)×(3/5)=(3/5)²=9/25이다. 번호를 붙인 확인에서도 전체 결과는 5×5=25개, 빨간 공 결과는 3×3=9개이어서 9/25가 된다.

다음에 확인할 학생의 선택

다음 수업에서는 같은 대표 문제의 조건은 유지하되 오답과 수정 풀이, 정답을 가린 뒤 학생이 먼저 첫 추출 뒤의 통을 그리게 한다. 이어 꺼낸 공을 돌려놓지 않는 문제에서는 빨간 공과 전체 공의 수를 각각 줄여 식을 쓰고, 새 문제처럼 공을 다시 넣는 경우에는 왜 두 수가 줄지 않는지 말하게 한다. 교사는 도움을 줄인 상태에서 학생이 “꺼낸 색에 맞춰 성공 개수도 줄인다”는 기준을 스스로 고르는지, 식의 두 번째 분자와 분모를 조건에 맞게 적는지, 마지막에 번호를 붙인 경우의 수로 답을 독립적으로 확인하는지를 근거로 기록한다.