연수동 고등수학과외

같은 사인 극한이라도 분모의 조건이 달라진다면

미적분Ⅱ에서 사인 기본 극한을 다룰 때는 식의 겉모양보다 각과 분모의 관계를 먼저 확인해야 한다. 기본 문제는 라디안 조건에서 lim(x→0) sin(3x)/x를 구하는 것이고, 새 문제는 같은 조건에서 lim(x→0) sin(2x)/(3x)를 구하는 것이다. 두 식 모두 분자의 각이 0으로 가까워지지만, 첫 문제의 분모는 x이고 두 번째 문제의 분모는 3x이다. 따라서 ‘사인 기본 극한이므로 1’이라고 바로 결론 내릴 수 있는 허용 범위가 서로 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서도 이런 차이를 식의 안쪽과 바깥쪽 배율로 나누어 읽게 한다.

첫 식을 이렇게 답했다면, “기본형이라 1”이라고 판단한 셈이다. 그러나 이 답만으로 각의 단위를 몰랐다고 단정하지는 않는다. 라디안 조건을 놓쳤는지, sin(3x)의 안쪽 계수 3을 보지 못했는지, 또는 삼각함수 미분에서 계수와 부호를 혼동했는지 각각 확인해야 한다. 짧은 질문은 “분모를 3x로 바꾸면 앞의 배율은?”이다. 학생은 말로만 넘기지 않고 분모에 3x를 직접 표시한 뒤, 원래 분모 x와 어떻게 달라졌는지 비교한다.

기본형의 모양을 맞춘 뒤 학생이 직접 계산하기

교사는 각이 라디안일 때만 이 기본 극한을 사용할 수 있음을 먼저 확인한다. u=3x로 두면 x가 0으로 갈 때 u도 0으로 가므로, 식은 3·sin(3x)/(3x)로 바뀐다. 여기서 sin(3x)/(3x)가 기본형이고, 앞에 남은 3이 결과를 결정한다. 합각정리는 두 함수의 곱과 합으로 식을 전개하는 내용이므로, 함수값을 단순히 더하는 규칙으로 이해해서는 안 된다. 또한 미분으로 확인할 때 sin(3x)의 x=0에서의 미분계수는 3cos0=3이다.

설명을 들은 뒤 학생이 직접 “분모를 3x로 만들려면 앞에 3을 곱해야 한다”고 말하고, 3·sin(3x)/(3x)를 적었다면 기본 극한에 따라 결과는 3이라고 정리할 수 있다. 마지막 판단은 교사가 대신 말하지 않고 학생이 “라디안 조건에서 기본형을 만든 뒤 앞의 배율 3을 남기므로 극한은 3이다”라고 문장으로 쓴다. 한 점에서의 미분계수와 극한 계산이 일치하는지도 대조해 식의 배율을 다시 확인한다.

표현만 바뀐 문제와 조건이 실제로 달라진 문제 구별하기

이제 문제와 필요한 수치만 남기고 풀이와 정답을 가린다. lim(x→0) sin(2x)/(3x)에서 x는 라디안이며 lim(u→0) sin u/u=1이라는 조건은 그대로 둔다. 학생은 먼저 분자의 각 2x에 맞추어 분모를 2x로 만들고, (2/3)·sin(2x)/(2x)로 분리한다. 따라서 극한은 2/3이다. 전체 분모가 같은 분자에 비해 3배가 되도록 놓였으므로, 기본 극한비에 남는 배율이 2/3이라는 점도 부분 검산으로 확인한다.

이 과정은 첫 문제의 숫자를 단순히 바꿔 외우는 일이 아니다. 첫 식에서는 분모 x를 3x로 맞추며 3이 남았고, 두 번째 식에서는 분모 3x를 2x로 맞추며 2/3이 남았다. 학생이 “분모를 3x로 바꾸면 앞의 배율은?”이라는 질문에 답한 뒤 계산을 스스로 완성하는지 확인한다. 극한을 바로 대입하다 막히면 사인 기본 극한의 분자·분모 모양을 먼저 표시하고, 남은 인자의 극한을 따로 구한다. 다음 점검에서도 문제와 조건은 유지하되 해설을 보이지 않은 상태에서, 학생이 배율 표시와 유도 과정을 직접 남기는지 살핀다.