우동 수학과외

좌표 차를 더해 7이라고 답한 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 두 점 (1, 2), (4, 6) 사이의 거리를 구하는 문제에서 “가로 차이 3과 세로 차이 4를 더하면 7이다”라고 풀이한 경우입니다. 이 답은 두 좌표의 차를 구하는 단계까지는 일부 맞지만, 그 차이를 그대로 더한 것이 문제에서 요구한 두 점 사이의 직선거리는 아닙니다.

교사는 먼저 “문제에서 구하라는 거리는 가로와 세로를 따라 이동한 길이의 합일까, 두 점을 곧게 이은 길이일까?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하면 두 점의 가로 좌표 차이 4-1=3, 세로 좌표 차이 6-2=4를 함께 구해 봅니다. 이 두 이동량은 서로 수직인 두 변이 되므로, 더하기만 하는 것이 아니라 직각삼각형의 빗변을 구해야 한다는 점을 확인합니다.

직각삼각형으로 바꾸어 보는 수정 풀이

두 점을 수평·수직으로 연결하면 가로 길이 3, 세로 길이 4인 직각삼각형을 생각할 수 있습니다. 직각삼각형에서 두 직각변의 길이가 a, b일 때 빗변 c는 c²=a²+b²라는 피타고라스 정리를 적용해 구합니다. 여기서는 두 좌표 차이가 각각 3과 4이므로 직선거리는

√((4-1)²+(6-2)²) = √(3²+4²) = √25 = 5

입니다. 교사는 학생이 처음 식에서 무엇을 바꾸었는지 말할 수 있도록 “3과 4는 최종 거리가 아니라 직각삼각형의 두 변이라는 점을 식에 어떻게 나타냈는가?”라고 확인합니다. 학생은 처음의 3+4를 3²+4²로 고치고, 마지막에 제곱근을 취해야 실제 빗변의 길이가 된다는 순서로 다시 풉니다. 필요한 경우 교사가 첫 번째 좌표 차이만 함께 계산한 뒤, 나머지 제곱과 결론은 학생이 이어서 시도하도록 돕습니다.

검산으로 5의 의미 확인하기

수정한 답은 가로 3, 세로 4인 직각삼각형의 빗변이므로 3-4-5 관계와 맞습니다. 또한 5²=25이고 3²+4²=9+16=25이므로 피타고라스 정리에도 맞습니다. 반면 7을 빗변이라고 하면 7²=49가 되어 두 직각변의 제곱합 25와 일치하지 않습니다. 따라서 7은 가로와 세로 방향으로 꺾어 이동했을 때의 길이 합이며, 두 점을 곧게 이은 거리는 5입니다.

풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 교사가 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 좌표만 보면서 다시 시작하게 합니다. 학생이 막히면 개념을 이해하지 못한 것인지, 제곱·제곱근 계산에서 막힌 것인지 한 단계씩 확인해 도움을 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 두 좌표 차이를 직각삼각형의 두 변으로 해석하고 계산이 맞다면 인정할 수 있습니다.

새 좌표에 적용하고 다음 확인으로 연결하기

이제 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 문제를 제시합니다. A=(-1, 2), B=(2, 6)일 때 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 가로 좌표 차이는 2-(-1)=3, 세로 좌표 차이는 6-2=4입니다. 조건이 같은 직선거리 문제이므로 같은 방식으로

√(3²+4²) = √25 = 5

를 얻습니다. 여기서 확인할 점은 단순히 답 5를 적었는지가 아니라, 음수 좌표를 포함해 좌표 차이를 정확히 구하고 그 값을 직각삼각형의 변으로 해석했는지입니다. 필요할 때는 A=(0,0), B=(9,12)의 직선거리를 비교해 볼 수 있습니다. 이때 답은 √(9²+12²)=15이고, 이동량의 합 21은 가로와 세로를 따라 꺾어 간 길이입니다. 다음 수업에서는 학생이 기본 문제의 풀이를 가린 뒤 스스로 다시 구성하는지, 각 수가 무엇을 뜻하는지 설명하는지, 새 좌표에서도 같은 판단을 조건에 맞게 적용하는지를 확인합니다.