전포동 고등수학과외

말로 찾은 구간과 원래 변수의 구간은 다르다

배움노트 고등수학 수업에서 지수 부등식을 다룰 때는 치환한 값의 범위를 구한 뒤, 그것을 처음 변수의 범위로 되돌리는 과정까지 확인해야 한다. 실수 x에 대해 4^x−3·2^x+2≤0을 풀어 보자. 4^x=(2^x)²이므로 t=2^x로 치환하면 t²−3t+2≤0, 즉 (t−1)(t−2)≤0이다. 따라서 t의 해는 1≤t≤2이다. 이때 “t∈[1,2]이므로 x도 [1,2]이다”라고 답했다면, 치환값의 구간과 원래 변수의 구간을 같은 것으로 본 셈이다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 먼저 “1≤2^x≤2가 주는 x의 구간은 무엇인가?”라고 묻는다. 학생은 자신이 처음 쓴 식과 답을 나란히 놓고, t가 무엇을 뜻했는지 직접 표시해 본다.

밑의 성질을 확인한 뒤 학생이 되돌려 계산한다

교사는 같은 밑의 지수함수에서 등식과 부등식의 판단을 구분하도록 기준을 제시한다. 2^x는 항상 양수이고 밑 2는 1보다 크므로 증가한다. 따라서 1≤2^x≤2를 풀 때 1=2⁰, 2=2¹로 바꾸어 2⁰≤2^x≤2¹을 얻는다. 학생이 직접 0≤x≤1이라고 쓰고, 치환식 t=2^x에서 원래 변수로 돌아왔는지 표시하게 한다. 교사는 기준과 비교할 식을 보여 주되, 계산과 답의 선택은 학생이 수행하게 한다. 끝으로 x=0과 x=1을 원식에 대입하면 각각 1−3+2=0, 4−6+2=0이 되어 양 끝이 포함됨을 확인할 수 있다. 구간 안에서는 t가 1과 2 사이에 있으므로 (t−1)(t−2)≤0이 성립하고, 지수함수의 증가성이 t 구간과 x 구간의 대응을 보장한다. 정답은 [0,1]이다.

풀이를 가린 상태에서 달라진 조건에 다시 적용한다

다시 확인할 때는 풀이와 정답을 가리고, 문제와 조건만 남긴다. “실수 a에 대해 2^x=a−1이 실수해를 갖는 a의 범위를 구하라”는 문제와 지수함수의 치역이 양수라는 조건을 제시한 뒤, 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 2^x의 출력은 (0,∞)이므로 오른쪽 a−1도 0보다 커야 한다. 따라서 a−1>0, 즉 a>1이다. a>1이면 양의 값 a−1에 대응하는 실수 x가 존재하고, a=1이면 오른쪽이 0이 되어 지수함수의 출력이 될 수 없다. 이는 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 치환한 부등식의 해 구간을 구하는 경우와 방정식의 해 존재 범위를 묻는 경우를 구별하는 점검이다. 확인 질문만 남긴 재시도에서 학생이 양수인 치환값을 원래 변수와 조건으로 되돌려 쓴다면, 외운 기본 답이 아니라 달라진 조건에도 같은 기준을 적용한 것으로 볼 수 있다.