청주사직동 수학과외

대표 문제와 ‘-x’라는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 x>0일 때 √(x²)을 간단히 하라는 것입니다. 학생이 “-x다.”라고 답했다면 계산만의 문제가 아니라 근호 밖으로 제곱근을 꺼낼 때 어떤 부호를 선택해야 하는지 판단하는 과정에서 어긋난 것입니다. √a는 a≥0일 때 음이 아닌 제곱근 하나를 나타냅니다. 따라서 √(x²)의 값은 항상 음이 아닌 수여야 합니다. x가 양수라는 조건까지 주어졌으므로 이 문제의 답은 x입니다.

오답이 나온 지점을 함께 구분하기

교사는 처음부터 오답의 원인을 계산 실수라고 단정하지 않고 “x가 양수라는 조건을 풀이의 어느 부분에 사용했나요?”라고 묻습니다. 학생이 “제곱하면 부호가 없어지니까 -x도 가능하다”고 생각했다면, 제곱한 결과만 같다는 사실과 √가 나타내는 값을 혼동한 것입니다. 실제로 x²의 제곱근은 x와 -x처럼 서로 부호가 반대인 두 수가 될 수 있지만, √(x²)에서 √ 기호가 가리키는 값은 그중 음이 아닌 값입니다. 반대로 개념은 알고도 식을 옮기는 과정에서 부호를 잘못 썼을 가능성도 있으므로, 교사는 “x=2라고 놓으면 √(2²)는 얼마인가?”처럼 짧은 수치 예를 확인한 뒤 대표 문제로 돌아옵니다.

조건을 사용해 수정 풀이 다시 만들기

교사는 근호 안의 x²가 어떤 수의 제곱인지 먼저 짚습니다. √(x²)는 x의 부호에 따라 결과가 달라질 수 있으므로 일반적으로 |x|로 나타냅니다. 그러나 이 문제에는 x>0이라는 조건이 있습니다. 양수인 x에서는 |x|=x이므로, 근호 밖으로 나오는 값은 -x가 아니라 x가 됩니다. 학생이 설명을 한 번에 이해하지 못하면 교사가 x=2를 넣어 √(2²)=√4=2까지 보여 준 뒤, 학생이 다시 x의 조건을 문장으로 연결하게 합니다. 학생은 처음의 “-x”에서 판단을 바꾸어 “x가 양수이므로 |x|=x이고, 따라서 √(x²)=x”라고 풀이를 완성합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

수정한 답은 같은 풀이를 반복하기보다 조건에 대입해 확인합니다. x가 양수이면 x는 음이 아니고, x를 제곱한 값은 x²이므로 √(x²)가 x를 가리킬 수 있습니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 문제의 조건만 보고 다시 시작하는지도 확인합니다. 이어서 새 문제 a>0일 때 √(9a²)를 간단히 하라를 제시합니다. √(9a²)=3|a|이고 a가 양수이므로 |a|=a입니다. 따라서 답은 3a이며, 3a도 음이 아닌 값입니다. 이후 선택적으로 x=-8을 대입해 √(x²)와 x를 비교하면 √64=8, x=-8이므로 두 값이 다름을 확인할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 조건에도 부호 판단의 근거를 설명하는지를 살펴봅니다.