사창동 수학과외

“분모에 2가 있으니 유한소수”라는 판단

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “1/6은 분모에 2가 있으므로 유한소수다.” 이 답은 분모에 2가 포함되어 있다는 사실만으로 유한소수 여부를 결정한 데서 어긋났습니다. 문제에서 확인해야 할 것은 분모에 2가 있는지가 아니라, 분수를 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수가 2와 5만으로 이루어져 있는지입니다.

1/6은 이미 1과 6의 공약수가 1뿐이므로 더 약분되지 않습니다. 따라서 기약분모는 6이고, 6=2×3입니다. 분모에 2가 포함되어 있지만 3도 남아 있으므로 유한소수가 아닙니다. 여기서 학생이 잘못 적용한 조건은 “2가 있으면 된다”는 판단입니다. 유한소수가 되려면 기약분모에 3, 7과 같은 다른 소인수가 남지 않아야 합니다.

오답의 이유를 풀이 과정에서 구분하기

교사는 처음부터 학생의 오답 원인을 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 먼저 “왜 분모에 2가 있다는 것을 근거로 삼았는지”를 묻고, 6을 소인수분해해 보게 합니다. 학생이 “6은 2×3이지만 2가 있으니 괜찮다”고 말한다면, 유한소수 조건을 일부만 적용한 개념 이해의 어려움이 드러납니다. 반대로 소인수분해는 정확히 했는데 6을 2로 잘못 읽었거나 계산 과정에서 빠뜨렸다면, 개념과 계산을 나누어 다시 확인해야 합니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사가 한 단계씩 함께 살필 수 있습니다. “먼저 약분할 수 있는지 보고, 그다음 기약분모를 소인수분해하자”고 안내한 뒤, 6=2×3이라는 부분까지는 함께 확인합니다. 이후에는 학생이 3이 남아 있는지 직접 말하고, 그 결과 유한소수인지 판단하도록 합니다. 이 과정에서 약분 전 분모가 아니라 약분 후 분모를 기준으로 삼는다는 점을 문제와 연결해 확인합니다.

조건을 고친 뒤 학생이 다시 푸는 과정

교사는 “분모에 2가 있는가?”라는 질문을 “기약분모의 소인수가 무엇인가?”로 바꾸어 줍니다. 학생은 1/6에서 약분 가능성을 먼저 확인하고, 약분되지 않으므로 기약분수도 1/6이라고 적습니다. 이어 6=2×3으로 나타내고, 분모에 3이 남아 있으므로 유한소수가 아니라고 결론을 고칩니다. 이때 6은 최종 답이 아니라 분모의 소인수를 확인하기 위해 계산한 값이며, 문제의 답은 “유한소수가 아니다”라는 판단임을 구분합니다.

학생이 소인수분해에서 막히면 6을 2×3으로 함께 써 보인 뒤, “여기서 3도 분모에 남아 있니?”라는 다음 질문을 학생이 해결하게 합니다. 학생은 처음 답에서 바꾼 판단이 ‘2의 존재만 확인한 것’에서 ‘기약분모의 모든 소인수를 확인하는 것’이라고 설명할 수 있어야 합니다. 다른 방식으로 1÷6을 계산해 판단하더라도 조건과 계산이 맞다면 인정할 수 있습니다.

검산으로 1을 6으로 나누면 0.1666…이 되어 6이 계속 반복됩니다. 소수점 아래 숫자가 끝나지 않고 반복되므로 앞에서 얻은 “유한소수가 아니다”라는 결론과 일치합니다. 풀이를 순서대로 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 조건만 보고 약분 가능성, 소인수, 결론을 다시 써 보게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 개념 설명이 더 필요한지, 나눗셈 계산에서 막혔는지를 살펴 도움의 정도를 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제로 5/18은 유한소수인가?를 제시할 수 있습니다. 이번에도 먼저 5와 18의 공약수가 있는지 확인하면 더 약분되지 않습니다. 18=2×3²이므로 기약분모에 3이 남아 있습니다. 따라서 5/18은 유한소수가 아닙니다. 기본 문제와 숫자는 달라졌지만, 기약분수로 만든 뒤 분모의 소인수를 판단한다는 방법은 그대로 적용됩니다.

추가로 “약분 전 분모에 3이 있으면 반드시 무한소수”라는 설명이 항상 맞는지 확인할 때는 3/96을 사용할 수 있습니다. 3과 96을 3으로 약분하면 1/32이고, 32=2⁵이므로 유한소수입니다. 따라서 유한소수 여부는 약분 전 분모가 아니라 약분 후 분모로 판단해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 5/18을 다시 해결하고, 왜 3/96은 다른 결론이 되는지 근거를 설명하며, 새로운 분수에도 같은 절차를 적용하는지를 확인합니다.