수곡동 수학과외

대표 문제에서 양수 8이라고 답한 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. (-2)³을 계산하라. 학생은 “지수가 있으니 양수 8이다.”라고 답했습니다. 2³=8이라는 계산 자체만 보면 자연스러워 보이지만, 이 문제에서 계산해야 하는 밑은 2가 아니라 괄호 안의 -2입니다. 지수 3은 -2를 세 번 곱한다는 뜻이므로, 먼저 실제 식을 (-2)×(-2)×(-2)로 바꾸어 읽어야 합니다.

이때 틀린 판단이 문제를 잘못 읽은 것인지, 음수의 곱셈 부호를 혼동한 것인지 바로 단정하지 않습니다. 교사는 “지수 3은 무엇을 세 번 반복한다는 뜻일까?”, “반복해서 곱해지는 수에 음수 부호가 포함되어 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 말하기 어려워하면 첫 번째 곱셈인 (-2)×(-2)만 함께 계산해 보고, 이어지는 인수의 부호는 학생이 직접 살펴보게 합니다. 이렇게 하면 2의 거듭제곱을 계산하는 것과 음수가 포함된 곱의 부호를 판단하는 과정을 나누어 확인할 수 있습니다.

음수 인수의 개수를 세어 수정 풀이하기

교사는 곱과 몫의 부호를 먼저 정한 뒤 절댓값을 계산하는 순서를 설명합니다. 대표 문제에서는 곱해지는 음수 인수가 세 개입니다. 음수 두 개를 곱하면 양수가 되지만, 여기에 음수 한 개를 다시 곱하면 결과는 음수가 됩니다. 따라서 부호는 음수이고, 절댓값은 2×2×2=8입니다.

학생은 처음의 “지수가 있으니 양수 8”이라는 판단에서, 지수만 보고 부호를 정한 부분을 고칩니다. 그리고 문제의 조건에 맞게 (-2)³=(-2)×(-2)×(-2)으로 다시 씁니다. 먼저 (-2)×(-2)=4를 계산하고, 그 결과에 남은 -2를 곱하여 4×(-2)=-8을 구합니다. 여기서 4는 처음 두 음수의 곱으로 나온 중간 결과이고, 문제에서 요구하는 최종 답은 -8입니다. 학생이 중간 단계에서 막히면 교사가 첫 곱을 보여 준 뒤, 마지막 곱과 최종 부호는 학생이 이어서 해결하도록 도움을 조절합니다.

계산 결과를 조건에 대입해 확인하기

수정 풀이를 마친 뒤에는 같은 곱셈을 그대로 반복하기보다, 얻은 값이 원래의 곱과 맞는지 나눗셈으로 확인합니다. -8을 첫 번째 음수 인수 -2로 나누면 4가 되고, 다시 남은 -2로 나누면 -2가 됩니다. 즉 -8÷(-2)÷(-2)=-2입니다. 이 확인은 -8에 -2를 두 번 곱하면 원래의 -8이 된다는 관계와 맞으며, 세 개의 음수 인수를 곱한 결과가 음수라는 판단도 함께 점검하게 합니다.

다음에는 교사가 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 수치와 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 학생이 음수 인수의 개수를 세어 부호를 정하는지, 절댓값 계산과 최종 답을 구분하는지 확인합니다. 혼자 다시 풀지 못한다면 개념 설명이 더 필요한지, 곱셈 순서나 계산에서 막힌 것인지 살펴본 뒤 필요한 단계만 다시 지원합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

새 곱에 적용하고 괄호의 역할까지 비교하기

새 문제는 (-2)×(-3)×(-5)를 계산하라.입니다. 이번에는 지수가 없지만 음수 인수가 세 개라는 점이 핵심입니다. 세 음수의 곱은 음수이고, 절댓값은 2×3×5=30이므로 답은 -30입니다. 앞 문제에서 익힌 “음수 인수의 개수를 세고 절댓값을 계산하는 순서”를 그대로 적용할 수 있는지 확인합니다.

필요할 때는 괄호가 부호와 지수의 관계를 어떻게 바꾸는지도 비교합니다. -(5)²은 5²에 앞의 음수 부호를 붙여 -25이지만, (-5)²은 밑 전체가 -5이므로 (-5)×(-5)=25입니다. 따라서 -a²과 (-a)²을 괄호와 관계없이 같다고 할 수는 없습니다. 다음 확인에서는 학생이 대표 문제와 새 문제를 풀이와 정답을 참고하지 않고 다시 해결한 뒤, 음수 인수의 개수와 괄호 안의 밑을 근거로 답을 설명하는지를 살펴봅니다.