성화동 수학과외

한 쌍의 해가 아니라 두 식의 관계부터 확인하기

다음 문제에서 학생이 x+y=4, 2x+2y=8의 해는 x=0, y=4 한 쌍이다라고 답했다고 가정해 보겠습니다. x=0, y=4를 첫 번째 식에 대입하면 0+4=4이고, 두 번째 식에도 2·0+2·4=8이므로 실제로 두 식을 모두 만족하는 해인 것은 맞습니다. 그러나 문제는 특정한 한 쌍을 구하라고 묻지 않고, 두 식을 동시에 만족하는 해의 개수를 묻고 있습니다. 따라서 이 답은 가능한 해 하나를 찾았지만 전체 해의 개수까지 판단하지 못한 답입니다.

교사는 먼저 “찾은 x=0, y=4 말고도 두 식을 만족하는 다른 값을 만들 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 이유를 설명하지 못하면 x+y=4에서 x에 다른 값을 넣어 y를 정해 보게 합니다. 예를 들어 x=1이면 y=3이고, x=2이면 y=2입니다. 이 값들도 두 식을 모두 만족한다는 점을 확인하면서, 한 해를 찾는 것과 해가 몇 개인지 판단하는 것은 다른 과정임을 구분합니다.

한 식이 다른 식의 배수인지 살펴보는 풀이

두 번째 식 2x+2y=8의 왼쪽과 오른쪽을 모두 2로 나누면 x+y=4가 됩니다. 즉 두 식은 서로 다른 조건처럼 보이지만 실제로는 같은 관계를 나타냅니다. 한 식의 모든 항을 같은 수로 곱하거나 0이 아닌 수로 나누어도 등식은 유지되므로, 이 경우 두 식은 같은 직선을 나타냅니다. 따라서 두 식이 만나는 점 하나를 정하는 것이 아니라, x+y=4를 만족하는 모든 순서쌍이 해가 됩니다.

교사는 학생에게 두 식의 계수와 상수항을 나란히 비교하게 하고, “둘째 식의 각 항이 첫째 식의 몇 배인가?”를 확인하게 합니다. 학생이 계수만 보고 판단하려 한다면 x의 계수뿐 아니라 y의 계수와 우변의 수까지 모두 2배인지 짚습니다. 설명이 어려운 부분은 교사가 둘째 식을 2로 나누는 과정을 먼저 보여 주고, 학생은 그 결과가 첫째 식과 같은지 직접 확인하게 합니다.

수정 풀이와 조건을 이용한 검산

학생은 처음의 “x=0, y=4 한 쌍이다”라는 결론에서, 그 값을 유일한 해라고 본 판단을 고칩니다. 둘째 식이 첫째 식의 2배이므로 새로운 독립 조건이 생기지 않았고, 두 식을 동시에 만족하는 해는 x+y=4를 만족하는 모든 실수 순서쌍입니다. x를 임의의 실수 t라고 두면 y=4-t로 쓸 수 있으므로 해는 (x, y)=(t, 4-t)이고, t가 여러 실수 값을 가질 수 있어 해의 개수는 무수히 많습니다.

검산은 같은 소거 과정을 반복하는 대신 이 표현을 원래 조건에 대입해 확인합니다. x=t, y=4-t이면 첫 번째 식은 t+(4-t)=4가 됩니다. 두 번째 식도 2t+2(4-t)=2t+8-2t=8이므로 모든 실수 t에 대해 두 식을 만족합니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 학생이 t를 정하는 단계에서 막히면 그 부분만 도움을 주고, 두 식이 모두 성립하는지 확인하는 과정은 다시 시도하게 합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 문제로 x+3y=6, 2x+6y=12의 해 개수를 제시할 수 있습니다. 둘째 식의 각 항과 우변이 첫째 식의 2배이므로 두 식은 같은 직선을 나타냅니다. 따라서 이 문제도 한 쌍만 답하는 것이 아니라 x+3y=6을 만족하는 모든 실수 순서쌍이 해이며, 해는 무수히 많습니다. 학생이 먼저 두 식의 배수 관계를 확인하고 이 결론까지 설명하는지를 봅니다.

비교가 필요할 때는 x+y=8, 2x+2y=17을 사용합니다. 첫째 식을 2배하면 2x+2y=16인데, 둘째 식은 2x+2y=17이므로 두 식을 동시에 만족할 수 없어 해가 없습니다. 이 문제는 “두 일차방정식을 소거하면 언제나 해 한 쌍이 나온다”는 생각을 점검하는 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 식의 배수 관계를 먼저 확인하고, 같은 직선인지 모순인지 또는 별도의 교점이 생기는지 조건에 맞게 구분하는지 확인합니다.