하기동 초등수학과외

밑변과 높이를 먼저 찾아보는 대표 활동

이 글은 수업에서 활용할 수 있는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 길이가 6cm인 밑변을 고정하고, 밑변과 평행한 4cm 높이의 선 위에서 삼각형의 꼭짓점을 옆으로 움직여 봅니다. 꼭짓점이 밑변의 가운데 위에 있을 때와 한쪽으로 치우쳐 있을 때를 비교하면, 아이는 모양이 달라졌으니 넓이도 달라질 것 같다고 생각할 수 있습니다. 그러나 넓이를 구할 때 기준이 되는 것은 옆변의 길이나 꼭짓점의 가로 위치가 아니라 선택한 밑변과 그 밑변에 수직인 높이입니다. 이 문제에서는 밑변 6cm와 수직 높이 4cm가 그대로 유지됩니다.

활동 전에는 직사각형의 넓이를 구할 때 가로와 세로를 곱한다는 관계를 알고 있는지, 삼각형에서 밑변에 직각으로 만나는 선분을 높이로 찾을 수 있는지 살펴봅니다. 이 내용을 아이가 이미 할 수 있다고 단정하지 않고, 삼각형 종이와 직각 표지를 사용해 확인합니다. 삼각형 종이에는 밑변과 수직 높이를 표시하고, 아이가 직각 표지를 밑변과 높이가 만나는 곳에 놓아 두 선이 직각인지 직접 살펴보게 합니다.

옆으로 움직인 꼭짓점과 넓이의 관계

교사는 먼저 밑변 6cm를 손가락으로 짚고, 꼭짓점에서 밑변 또는 그 연장선까지 내린 선이 밑변과 직각을 이루는지 보여 줍니다. 꼭짓점이 옆으로 이동해도 같은 4cm 평행선 위에 있다면, 밑변에서 그 평행선까지의 수직 거리는 변하지 않습니다. 아이가 “꼭짓점이 옆으로 이동하면 같은 높이여도 넓이가 반드시 달라진다”고 반응한다면, 그 말이 이 조건에서는 맞지 않는다는 점을 바로잡되, 틀린 답의 원인을 미리 단정하지 않습니다. 모양의 변화와 개수나 넓이의 변화를 혼동했을 수도 있고, 높이를 옆변으로 생각했을 수도 있으므로 교사는 “어느 선분을 높이라고 보았는지”, “직각 표지를 어디에 놓을 수 있는지”를 물어 확인합니다.

말로 설명하기 어렵다면 아이가 두 삼각형의 밑변을 차례로 가리키고, 각 꼭짓점에서 밑변에 수직으로 선을 그리게 합니다. 두 선이 모두 4cm이고 밑변도 각각 6cm라는 점을 자료에서 확인하면, 삼각형 넓이 식은 6×4÷2=12cm²가 됩니다. 같은 밑변과 같은 수직 높이를 가진 삼각형은 꼭짓점의 위치가 옆으로 달라져도 넓이가 12cm²로 유지됩니다. 삼각형 두 장을 붙여 직사각형이나 평행사변형처럼 보이는 영역을 만들 때에는 한 장의 넓이와 두 장을 합친 영역의 넓이를 구별해야 합니다. 한 장을 나타내는 식에 2를 곱한 결과를 삼각형 한 장의 넓이라고 하지 않도록, 종이 한 장과 전체 영역을 따로 짚어 보게 합니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 확인하는 과정

교사가 한 삼각형에서 밑변과 수직 높이를 짚어 보인 뒤에는 아이가 다른 위치의 꼭짓점에 같은 과정을 적용합니다. 아이는 직각 표지를 옮겨 수직 높이를 찾고, 밑변 6cm와 높이 4cm를 식에 넣어 12cm²를 구합니다. 긴 설명을 하지 못하더라도 밑변, 직각 표시, 4cm 높이를 차례로 가리키거나 같은 길이의 선을 그리면 판단의 근거를 확인할 수 있습니다. 재시도할 때는 문제와 삼각형 종이, 직각 표지 같은 필요한 자료는 그대로 둡니다. 다만 해설과 정답은 가리고, 꼭짓점을 처음 위치로 되돌린 뒤 아이가 6cm 밑변과 4cm 수직 높이를 다시 찾아 식을 완성하게 합니다. 이미 완성된 모형을 보여 주는 데서 끝내지 않고, 아이가 직접 높이를 정하고 답까지 구했는지 살피는 과정입니다.

기울어진 옆변을 높이로 쓰지 않는 새 문제

이어서 조건을 조금 바꾼 새 자료를 확인합니다. 밑변 6cm와 수직 높이 4cm인 삼각형에 기울어진 옆변 5cm도 함께 표시해 봅니다. 아이가 가장 긴 선분처럼 보이는 옆변을 높이로 선택할 수 있으므로, 교사는 그 선분이 밑변과 직각으로 만나는지 직각 표지로 확인하게 합니다. 옆변 5cm는 밑변에 수직인 선분이 아니므로 이 넓이 계산의 높이가 아닙니다. 아이는 밑변에 수직인 4cm를 선택해 6×4÷2=12cm²를 구합니다. 같은 삼각형 두 장을 완전히 포갠 뒤 나란히 펼치는 비교에서는 한 장의 넓이는 12cm²이고 두 장의 종이 총넓이는 24cm²입니다. 포개 보이는 부분과 종이 두 장의 전체 넓이를 구별하면서, 다음에는 숫자만 기억하지 않고 자료에서 밑변과 수직 높이를 가리켜 이유를 확인할 수 있는지 살펴봅니다.