하기동 고등수학과외

기본 문제의 풀이와 답을 가린 뒤, 다음과 같이 다시 시작한다. 문제는 $f(x)=|x^2-1|$, $-2\le x\le2$에서 최댓값과 최솟값을 구하는 것이다. 이때 먼저 “식이 바뀌는 $x=\pm1$과 끝점을 확인했는가?”라는 질문에 답해야 한다. 이전처럼 미분 가능한 곳에서 $f'(x)=0$인 $x=0$만 보고 함수값을 둘 다 1이라고 하면, 정의역의 경계와 절댓값의 꺾이는 점을 빠뜨린 셈이다.

도함수가 0인 점만으로 후보를 정하지 않기

배움노트 고등수학 수업에서 이 문제를 다룰 때는 학생이 먼저 원래 식과 정의역을 직접 표시하게 한다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 $x=-1,1$에서는 함수의 식이 바뀌므로 미분 가능 여부와 관계없이 구간의 최댓값·최솟값 후보에 넣어야 한다. 또 닫힌 구간에서는 양 끝점 $x=-2,2$의 함수값도 반드시 비교한다. $f'(x)=0$이라는 사실은 후보를 하나 추가할 근거일 뿐, 그 점이 자동으로 극값이라는 뜻은 아니다. 실제 극값 여부는 양쪽 도함수의 부호가 어떻게 바뀌는지와 함수값의 높이를 함께 확인해야 한다.

구간을 나누면 $-1\le x\le1$에서는 $f(x)=1-x^2$, $-2\le x\le-1$ 또는 $1\le x\le2$에서는 $f(x)=x^2-1$이다. 가운데 식의 도함수는 $-2x$이므로 $x=0$의 왼쪽에서는 양수, 오른쪽에서는 음수로 바뀐다. 따라서 $x=0$에서는 국소적인 높은 값이 생기지만, 이것만으로 전체 구간의 최댓값을 결정할 수는 없다. 바깥 구간의 식과 끝값까지 비교해야 한다.

학생이 후보를 골라 원래 조건과 대조하기

학생은 후보를 $x=-2,-1,0,1,2$로 다시 적고 각각의 값을 직접 계산한다. 순서대로 $3,0,1,0,3$이므로 최댓값은 $3$, 그때의 입력은 $x=\pm2$이다. 최솟값은 $0$, 그때의 입력은 $x=\pm1$이다. 특히 $x=0$에서의 값은 1이므로, 도함수가 0이라는 사실만으로 최댓값과 최솟값을 모두 1이라고 한 풀이는 성립하지 않는다.

이 결론은 후보를 대입한 결과만으로 끝내지 않는다. $-1\le x\le1$에서는 $1-x^2$이므로 값이 0 이상 1 이하이고, 바깥 구간에서는 $x^2-1$이므로 $-1,1$에서 0이 된 뒤 끝점으로 갈수록 커진다. 따라서 구간 전체에서 음수나 3보다 큰 값이 나올 수 없다는 점을 조각별로 확인할 수 있다. 학생은 각 후보 옆에 ‘식이 바뀌는 점’, ‘도함수가 0인 점’, ‘끝점’이라는 근거도 함께 적어야 한다.

조건을 바꾼 문제에서 풀이를 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 $f(x)=x^2,\ -1<x<2$의 최댓값과 최솟값의 존재 여부를 판단한다. 먼저 $x=0$은 열린 구간 안에 있으므로 $f(0)=0$이라는 최솟값은 실제로 존재한다. 반면 $x=2$는 허용되지 않는다. $x$가 2에 가까워질수록 $x^2$은 4에 가까워지지만 4를 실제로 얻을 수 없으므로 최댓값은 없다. 모든 허용된 $x$에 대해 $f(x)<4$이고, 2보다 작은 양의 입력을 더 크게 고르면 함수값도 더 커진다는 점이 근거다.

마지막에는 학생이 절댓값 함수에서 후보를 보완한 이유를 다시 문장으로 적는다. “도함수가 0인 점뿐 아니라 식이 바뀌는 점과 닫힌 구간의 끝점을 확인하고, 새 조건에서는 열린 끝점이 포함되는지 따로 판단했다”라고 설명할 수 있어야 한다. 도함수 부호표와 실제 함수값의 높이를 분리해 작성하면, $f'(x)=0$과 극값을 혼동하는지도 함께 확인할 수 있다.