행암동 중등수학과외

한 학생이 먼저 “−3x+2≥11의 해를 구하고 x=−3이 포함되는지 판단하라”는 문제를 받았다. 학생은 아직 계산을 시작하지 않고, 부등호가 ≥로 바뀌었다는 점을 표시했다. 교사는 “이번 부등호에서 −3은 포함될까?”라고 묻고, 학생이 조건의 변화와 경계값을 연결해 보게 했다. 이때 행암동중등수학과외 수업에서는 새 문제의 숫자만 바라보지 않고, 부등호의 모양과 음수로 나누는 과정을 나누어 기록하게 한다.

≥로 바뀐 새 조건과 경계값 −3

학생은 식을 정리해 −3x+2≥11에서 양변에 2를 빼 −3x≥9라고 적었다. 양변을 −3으로 나눌 때에는 음수로 나누므로 부등호 방향이 반대가 되어 x≤−3이 된다. 따라서 새 문제에서는 x=−3이 해에 포함된다. 경계값을 원식에 넣으면 −3×(−3)+2=9+2=11이고, 11≥11이 참이기 때문이다. 학생은 여기서 “음수로 나눌 때 방향은 바뀌지만, ≥는 등호를 허용한다”고 자신의 말로 정리했다.

대표 문제에서 처음 달라진 판단 찾기

교사는 방금 확인한 조건을 잠시 가리고, 비교할 문제로 −3x+2>11을 제시했다. 학생의 처음 답은 x≤−3이었다. 식의 앞부분에서 2를 빼 −3x>9로 만든 것은 맞았다. 또한 −3으로 나눌 때 방향을 바꾸어야 한다는 과정도 반영했다. 처음 달라진 판단은 마지막 부등호에서 등호를 남겨 둔 부분이었다. 교사는 “x=−3을 넣으면 11>11인가?”라고 짧게 물었다.

학생은 −3을 대입해 좌변이 11이 된다는 것까지는 바로 계산했지만, 11>11을 참으로 표시하려다 멈췄다. 교사는 답을 대신 완성하지 않고 “같은 값이면 이 부등호가 허용하니?”라고 다시 확인했다. 학생이 기준을 고르지 못했다면 원래 >에는 같은 값이 포함되지 않는다는 관계만 되짚고, 기준은 알고 있는데 기호만 잘못 쓴 경우라면 −3으로 나눈 한 줄과 마지막 기호를 따로 살피게 한다. 이 과정을 통해 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 경계의 의미와 계산 방향을 구분한다.

경계값 대입 뒤 학생이 직접 고친 해

학생은 대표 문제를 다시 보고 먼저 경계값 −3을 대입했다. 11>11은 성립하지 않으므로 경계를 제외해야 한다고 말한 뒤, 직접 다음과 같이 고쳐 썼다. −3x>9, 양변을 −3으로 나누면 부등호 방향이 바뀌어 x<−3이다. 처음 풀이의 x≤−3에서 등호를 삭제한 것이 수정의 핵심이다. 교사는 “왜 방향은 바뀌고 경계는 빠졌지?”라고 물었고, 학생은 음수로 나눌 때 순서가 뒤집히며 원래 부등호가 >라서 같은 값은 포함하지 않는다고 설명했다.

검산은 같은 나눗셈을 반복하지 않고 서로 다른 값을 넣어 확인했다. x=−4이면 원식의 좌변은 −3×(−4)+2=14이므로 14>11을 만족한다. 반대로 x=−2이면 좌변은 −3×(−2)+2=8이 되어 8>11을 만족하지 않는다. 경계인 x=−3에서는 좌변이 11이 되어 등호만 성립하므로 대표 문제의 해에서 제외된다. 이 세 값을 비교하면 x<−3이라는 결과가 원래 조건과 맞는지 계산의 방향과 경계 포함 여부를 각각 확인할 수 있다.

조건을 바꾸어 같은 기준을 스스로 선택하기

마지막에는 처음의 새 문제로 돌아와 학생이 도움 없이 −3x+2≥11을 다시 풀었다. 학생은 먼저 −3x≥9를 만들고, 음수로 나누면서 x≤−3을 적었다. 이어 x=−3을 대입해 양변이 모두 11이므로 ≥를 만족한다고 설명했다. 대표 문제와 달라진 것은 숫자나 나눗셈 방법이 아니라 엄격한 >가 ≥로 바뀐 점이며, 음수 나눗셈에서 부등호 방향이 반전되는 원리는 그대로다. 다음 문제에서 부등호가 다시 >로 제시되면 학생이 경계값을 먼저 대입해 포함 여부를 정하고, 음수로 나눈 뒤 방향을 바꾼 식과 그 판단 근거를 함께 남기는지 확인한다.