행암동 고등수학과외

새로운 조건에서는 먼저 “이어지는가”와 “모서리가 없는가”를 같은 뜻으로 보지 않는 것이 중요하다. 예를 들어 f(x)=|x|가 x=0에서 연속인지 판단하고, “연속이면 모서리가 없다”는 설명을 평가해 보자. lim(x→0)|x|=0이고 f(0)=0이므로 이 함수는 0에서 연속이다. 그러나 좌우 기울기는 각각 −1과 1로 다르므로 0에서 미분가능하지 않다. 따라서 연속이라는 결론은 맞지만, 연속이면 모서리가 없다는 설명은 거짓이다.

달라진 조건에서 먼저 확인할 값

이 판단에서 학생이 “값이 0으로 가까워지니 모서리도 없다”고 답했다면, 연속성과 미분가능성을 구분했는지 확인한다. 연속은 한 점의 함숫값과 그 점으로 다가갈 때의 극한이 같은지를 보는 조건이다. 반면 모서리의 유무는 좌우에서의 변화율이 같은지와 관련된다. 실제로 |x|에서는 입력을 0에 충분히 가깝게 하면 함수값도 0에 가까워지지만, 왼쪽에서는 기울기 −1, 오른쪽에서는 기울기 1이다. 같은 점에서 이어지는 것과 매끄럽게 방향이 연결되는 것은 별개의 조건이다.

조각함수의 연결 값으로 기준 세우기

기본 문제는 f(x)=x² (x≤1), f(x)=ax+1 (x>1)일 때 x=1에서 연속이 되도록 하는 a를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면, “오른쪽 식이니 a=1”이라고 바로 정한 이유를 말하게 한다. 왼쪽 함숫값과 오른쪽 극한을 비교했는지, 함수의 정의와 극한을 구분했는지, 연속에 필요한 조건을 알고 있는지 차례로 확인한다. 한 점에서 연속이려면 그 점의 함숫값이 존재하고 좌우에서의 극한이 존재하며 모두 같은 값이어야 한다. 따라서 f(1)=1²=1이고, 오른쪽에서 다가갈 때의 극한은 a+1이다. 여기서 멈추고 학생이 두 값을 같게 놓는 다음 줄을 직접 쓰게 한다.

식으로 고친 뒤 조건을 남겨 다시 점검하기

학생은 1=a+1에서 a=0을 얻는다. 이때 오른쪽 식은 1이라는 상수이고, 왼쪽 식 x²의 1에서의 극한도 1이므로 함숫값, 좌우 극한이 모두 일치한다. 반면 이 결론은 접합점에서의 연속 조건을 만족시키는 값일 뿐, 좌우 기울기까지 같다는 뜻은 아니다. 구간 전체에서 사잇값 정리를 적용하려면 해당 닫힌 구간에서 함수가 연속이라는 가정도 따로 확인해야 하며, 끝값만 보고 중간의 끊김이나 정의되지 않는 입력을 지나치지 않아야 한다.

수정한 풀이에서는 처음 오답의 결론에 취소선을 긋는 데 그치지 말고, “f(1)=1과 오른쪽 극한 a+1을 같게 둔다”는 식으로 바꾼 부분을 표시한다. 그다음 문제와 조건, 필요한 함수식을 남기되 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 조각함수의 접합점에서 세 값을 비교하고, 이어서 |x|의 연속성과 좌우 기울기를 각각 판단한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 달라졌는지도 구별하면서, 답을 기억해 적은 것이 아니라 새 조건에서 연속의 정의와 미분가능성의 기준을 다시 적용했는지 확인한다.