가양동 중등수학과외

학생은 “18분과 24분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다. 그 뒤 처음 함께 울리는 시각은?”이라는 문제를 읽고, 답안에 오전 9시라고 적었다. 가양동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 고치기보다, 학생이 문제의 어떤 표현을 기준으로 삼았는지부터 확인했다. 교사가 “문제에서 ‘그 뒤 처음’은 경과 시간 0분을 포함할까?”라고 묻자 학생은 오전 9시에도 실제로 함께 울렸다는 점을 말했지만, ‘그 뒤’라는 조건을 답에 반영했는지는 설명하지 못했다.

오전 9시를 답으로 고른 이유와 처음 어긋난 판단

학생이 맞게 확인한 부분은 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다는 사실이었다. 시작 시각을 문제에서 빠뜨리지 않고 읽은 점은 중요하다. 다만 질문은 단순히 함께 울린 시각을 묻지 않고, 그 시각 이후에 처음 다시 만나는 때를 묻는다. 따라서 오전 9시부터의 경과 시간을 0분으로 놓으면, 0분은 이미 발생한 시작 순간이지 ‘그 뒤’의 다음 신호가 아니다.

교사는 원인을 바로 “소인수분해를 모른다”고 정하지 않았다. 먼저 “오전 9시에서 18분이 지나면 몇 시이고, 24분이 지나면 몇 시일까?”라고 물었다. 학생이 각각 오전 9시 18분, 오전 9시 24분이라고 답한다면 시간 계산은 구분하고 있는 것이다. 이어 “0분을 제외해야 한다는 조건을 식이나 표시로 남길 수 있을까?”라고 질문해, 말로 조건을 이해하는지와 실제 풀이에서 기준을 선택하는지를 나누어 확인했다.

0분을 제외하고 최소공배수로 다음 동시 신호 찾기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 두 수의 소인수분해만 한 단계 시범으로 제시했다. 18=2×3², 24=2³×3이므로 두 수에 필요한 소인수를 가장 큰 지수로 모으면 최소공배수는 2³×3²=72분이다. 그리고 “0분은 이미 함께 울린 때다. 양의 공배수에서 골라 보자”라고 설명한 뒤, 다음 계산은 학생이 직접 하게 했다.

학생은 시작 순간을 제외한다는 표시를 먼저 적고, 18=2×3², 24=2³×3을 다시 썼다. 이어 최소공배수를 72분으로 구한 다음, 오전 9시에서 72분을 더해 오전 10시 12분이라고 답했다. 처음에는 시작 시각 자체를 답으로 선택했지만, 수정 풀이에서는 ‘양의 경과 시간’이라는 조건을 식의 결과에 반영했다.

72분이라는 결과를 다른 방식으로 확인하기

검산에서는 최소공배수 계산을 그대로 반복하지 않았다. 먼저 72÷18=4, 72÷24=3이므로 72분 뒤에는 첫 번째 신호가 네 번, 두 번째 신호가 세 번 울린다는 것을 확인했다. 또 18의 양의 배수 중 더 작은 값인 18, 36, 54는 24의 배수가 아니다. 따라서 72분보다 이른 양의 공배수는 없고, 오전 9시 12분이나 오전 9시 36분 같은 시각은 두 신호가 함께 울리는 때가 아니다. 이 확인을 통해 오전 9시는 시작 순간이고, 오전 10시 12분이 그 뒤 처음이라는 구분이 분명해진다.

시작 포함·끝 제외 조건으로 넓혀 보는 적용

새 문제에서는 “10분, 15분마다 울리는 두 신호가 오전 9시에 함께 울렸다. 오전 9시를 포함하고 오전 10시는 포함하지 않을 때 함께 울리는 시각을 모두 구하라”라고 조건을 바꾼다. 여기서는 다음 한 번만 찾는 것이 아니라, 시작 시각은 포함하고 끝 시각은 제외한 구간의 모든 동시 신호를 찾아야 한다. 신호가 함께 울리는 주기를 최소공배수로 구하는 원리는 유지되지만, 포함 범위에 따라 목록에 넣는 기준이 달라진다.

학생은 10과 15의 최소공배수를 30분으로 계산하고, 오전 9시부터 30분씩 이동해 오전 9시와 오전 9시 30분을 적는다. 오전 10시는 다음 동시 신호이지만 끝 시각을 제외하므로 목록에서 뺀다. 다음 수업에서는 대표 문제의 조건과 문제만 다시 제시하고 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 시작 순간을 제외하고 다음 동시 신호를 스스로 찾는지 확인한다. 새 문제에서도 포함·제외 조건을 먼저 표시하고, 최소공배수 30분과 범위 판단을 연결해 시각을 고르는지 풀이에 남긴 근거로 확인한다.