성남동 중등수학과외

“중앙값은 세 번째 값 4”라는 답안 확인하기

성남동중등수학과외 수업에서는 학생이 적어 온 답안과 문제의 조건을 나란히 놓고 확인하는 장면에서 시작합니다. 문제는 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10의 중앙값을 구하는 것이었고, 학생은 “중앙값은 세 번째 값 4이다.”라고 작성했습니다. 교사는 곧바로 정답 여부를 말하지 않고 “자료가 여섯 개일 때 가운데 자리는 하나일까, 두 개일까?”라고 묻습니다. 학생이 자료의 개수를 다시 세어 보면서도 세 번째 값만 가리킨다면, 이번 판단의 초점은 정렬 자체보다 짝수 개 자료에서 가운데 한 값만 선택한 데 있음을 확인할 수 있습니다.

학생이 처음부터 모두 틀린 것은 아닙니다. 중앙값을 찾으려면 자료의 순서를 정리하고 중앙 부분을 봐야 한다는 방향은 잡았습니다. 다만 아직 자료 여섯 개에서 중앙 자리가 하나인지 두 개인지와, 정렬 전후의 위치를 같은 기준으로 연결하지 못했습니다. 교사는 “말로는 가운데 두 자리라고 설명할 수 있니?”라고 물은 뒤, 학생이 설명한 내용과 실제 답안에 적은 계산을 대조합니다. 말로는 두 자리라고 하면서 종이에 4 하나만 적었다면, 개념 설명과 풀이 기록이 일치하는지도 따로 확인합니다.

세 번째와 네 번째 사이를 표시하는 한 단계

교사는 학생의 답안 옆에 정렬된 자료를 직접 완성해 주지 않고, 핵심 관계만 짧게 보여 줍니다. “짝수 개에서는 3번째와 4번째 사이가 중앙이야.”라고 설명한 다음, 자료를 작은 수부터 배열하라는 첫 행동만 다시 제시합니다. 학생은 9, 2, 7, 4, 4, 10을 2, 4, 4, 7, 9, 10으로 정렬하고, 이번에는 세 번째와 네 번째 위치에 각각 표시합니다. 교사가 평균 계산까지 대신하지 않도록, 가운데 두 값을 모두 고른 다음 그 값을 어떻게 하나의 중앙값으로 만들지 학생이 이어서 말하게 합니다.

학생은 처음의 “세 번째 값 4”라는 결론을 지우고, 가운데 두 값은 4와 7이라고 적습니다. 이어서 두 값의 평균을 계산하여 (4 + 7) ÷ 2 = 11 ÷ 2 = 5.5라고 씁니다. 처음 풀이와 달라진 부분은 세 번째 값의 위치를 그대로 답으로 옮기지 않고, 짝수 개 자료의 가운데 두 값을 모두 선택했다는 점입니다. 교사는 계산을 시작하기 전에 두 숫자에 모두 동그라미가 있는지 확인하고, 학생이 “두 값 사이가 중앙이므로 평균을 구한다.”고 자신의 말로 설명하게 합니다.

5.5를 다른 방식으로 검산하기

학생이 얻은 답은 중앙값 5.5입니다. 같은 평균 계산을 반복하는 대신, 정렬된 자료와 답의 위치를 조건으로 대조합니다. 5.5보다 작거나 같은 값은 2, 4, 4로 앞의 세 개이고, 5.5보다 크거나 같은 값은 7, 9, 10으로 뒤의 세 개입니다. 따라서 5.5는 정렬된 여섯 값에서 가운데 두 값 4와 7 사이에 놓입니다. 이 검산은 답을 다시 계산하는 방식이 아니라, 앞뒤 자료의 개수와 가운데 구간을 확인하는 방식입니다.

학생이 처음 답한 4만을 중앙값으로 두면 4보다 작은 값은 2 하나뿐이고, 나머지 값 대부분이 한쪽에 몰립니다. 반면 5.5를 기준으로 보면 앞쪽 세 값과 뒤쪽 세 값이 나뉘며, 4와 7 사이의 위치도 조건에 맞습니다. 교사는 이 차이를 설명하게 하면서 “정렬된 자료에서 가운데 두 값 사이에 답이 놓였다는 근거를 말해 볼래?”라고 묻습니다. 학생이 숫자와 위치를 함께 가리키면, 도움 없이도 계산 결과를 자료의 배열과 연결했는지 확인할 수 있습니다.

자료를 하나 더 넣으면 가운데 위치가 어떻게 바뀌는가

이제 조건을 바꿉니다. 자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100 한 개를 추가했을 때 중앙값을 구하는 문제입니다. 자료 수가 짝수에서 홀수로 바뀌었으므로, 학생은 먼저 정렬된 일곱 값에서 가운데 위치를 다시 정해야 합니다. 배열은 2, 4, 4, 7, 9, 10, 100이고, 일곱 값의 네 번째 값은 7이므로 중앙값은 7입니다. 여기서 유지되는 원리는 자료를 정렬한 뒤 중앙 위치를 찾는 것이지만, 달라진 조건은 짝수 개일 때의 두 자리 대신 홀수 개일 때의 한 자리를 선택한다는 점입니다. 100은 끝에 들어가므로 가운데 위치 자체를 밀어내지 않고, 자료 개수가 일곱 개가 되면서 중앙이 네 번째 한 자리로 바뀝니다.

다음에는 대표 문제의 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10을 그대로 두고 기존 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 처음부터 다시 풀게 합니다. 학생은 풀이를 시작할 때 자료를 정렬한 뒤 가운데 두 값 4와 7을 모두 고르고, 그 평균이 5.5가 되는 과정을 직접 적어야 합니다. 이후에는 100을 추가한 일곱 개 자료를 혼자 정렬하고 네 번째 값 7을 선택하게 합니다. 교사는 학생이 짝수 개에서는 두 값을 고르고 홀수 개에서는 한 값을 고르는지, 그리고 마지막에 자료의 앞뒤 개수와 가운데 위치를 근거로 답을 설명하는지 확인합니다.