금천동 중등수학과외

학생은 삼각형 ABC에서 ∠A=48°, ∠B=67°이고, BC를 C 너머로 D까지 연장했을 때 ∠ACD를 구하는 문제를 풀었다. 답안에는 “BC를 B 쪽으로 연장해 외각 113°”라고 적혀 있었다. 수업에서는 금천동중등수학과외 문제를 더 많이 풀기보다, 이 답이 문제의 조건을 실제로 만족하는지 한 문장씩 대조했다. 교사는 학생이 계산을 전혀 하지 않은 것이 아니라, 연장된 방향과 각의 꼭짓점을 서로 다르게 연결했을 가능성에 초점을 두었다.

113°라는 계산과 연장 방향의 불일치

학생은 48°와 67°를 더해 115°를 얻은 뒤, 삼각형의 외각과 관련된 수라고 판단했다. 그러나 답안에는 113°가 적혀 있어 계산 기록과 최종 답도 일치하지 않았다. 교사는 오답 하나만으로 개념을 모른다고 단정하지 않고, 먼저 “D가 B 너머야, C 너머야?”라고 물었다. 학생에게 문제 문장에서 ‘C 너머로 D까지’라는 부분에 직접 밑줄을 긋고, D가 어느 방향에 놓이는지 표시하게 했다.

학생은 말로는 D가 C 뒤에 있다고 설명했지만, 처음 그림에서는 선분 BC를 B 쪽으로 늘려 놓았다. 교사는 설명을 길게 이어 가지 않고 “구하려는 각의 꼭짓점은 어디야?”라고 다시 물었다. 이 질문에 대한 설명과 첫 풀이를 나란히 놓자, 학생이 문장을 읽은 내용과 그림에 옮긴 방향이 처음 달라진 지점이 드러났다. 확인된 판단은 ‘외각의 계산법을 전혀 모른다’가 아니라 ‘연장한 끝점과 구할 각의 꼭짓점을 맞추지 못했다’는 것이었다.

∠ACD의 꼭짓점을 기준으로 풀이 고치기

교사는 삼각형의 내각 합을 한 단계만 대조했다. ∠C는 180°−48°−67°=65°이다. 그리고 “D는 C 너머이므로 외각의 꼭짓점은 C다”라고 짧게 설명한 뒤, 외각식을 대신 완성하지 않았다. 학생은 직접 C에서 D로 뻗은 연장선을 다시 표시하고, 구하려는 각의 이름 ∠ACD에서 가운데 글자 C가 꼭짓점이라는 점을 확인했다.

학생이 다시 쓴 풀이는 다음과 같았다. 먼저 삼각형 ABC의 ∠C를 구하여 ∠C=180°−48°−67°=65°로 적었다. 그다음 C에서 선분 BC를 넘어 D로 연장했으므로 ∠ACD와 ∠C가 일직선 위의 이웃한 각임을 표시하고, ∠ACD=180°−65°=115°라고 작성했다. 처음에는 B 쪽으로 연장한 그림과 외각을 연결했지만, 수정 뒤에는 D의 위치와 ∠ACD의 가운데 글자 C를 같은 꼭짓점으로 맞춘 점이 달라졌다. 교사는 이어지는 식과 판단을 학생이 직접 말하게 하며, 도움은 꼭짓점 확인에만 제한했다.

합으로 확인하는 115°와 조건을 바꾼 적용

수정한 답은 같은 뺄셈을 반복하지 않고, 외각의 다른 성질로 검산했다. ∠ACD에서 떨어져 있는 두 내각은 ∠A와 ∠B이므로 48°+67°=115°이다. 이 값이 수정 풀이의 외각 115°와 일치한다. 따라서 ∠C를 먼저 구한 과정과 C에서 D로 연장한 방향이 함께 문제 조건을 만족한다. 특히 113°라는 처음 답은 주어진 두 내각의 합과도, 연장 방향에 따른 외각의 크기와도 맞지 않는다는 점을 학생이 직접 표시했다.

이제 조건을 바꿔 외각에서 다른 내각을 역으로 구하는 문제를 제시했다. 삼각형 ABC에서 BC를 C 너머로 D까지 연장한 외각 ∠ACD=120°이고 ∠A=50°일 때 ∠B를 구하는 문제다. 학생은 먼저 D가 C 너머에 있다는 표시를 유지하고, 외각과 떨어진 두 내각의 관계를 120°=50°+∠B로 세워야 한다. 따라서 ∠B=70°이고, 내각의 합으로 ∠C는 180°−50°−70°=60°이다. 50°+70°+60°=180°이며, 외각도 50°+70°=120°로 확인된다.

다음 수업에서는 원래 문제의 조건은 그대로 둔 채 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생은 도움 없이 D가 C 너머에 있음을 표시하고, ∠ACD의 가운데 글자가 C라는 근거를 말한 뒤 ∠C와 외각을 차례로 적어야 한다. 완성한 뒤에는 떨어진 두 내각의 합 48°+67°=115°를 이용해 원래 조건을 만족하는지 검산하게 한다. 교사는 정답만 기록하지 않고, 연장한 끝점과 구할 각의 꼭짓점을 스스로 맞추고 그 선택 이유를 설명하는지를 확인한다.