금천동 초등수학과외

두 삼각형을 포개었을 때 보이는 넓이는 무엇일까요?

이 글은 삼각형의 넓이를 확인하는 교육용 활동 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 밑변이 6cm이고 밑변에 수직인 높이가 4cm로 표시된 같은 삼각형 종이 두 장을 준비합니다. 두 종이를 완전히 포개면 겉으로 보이는 삼각형은 한 장처럼 보입니다. 이때 “두 장을 포개었으니 보이는 영역이 두 장 넓이의 합일까?”라고 물어봅니다. 아이가 겹쳐 보이는 부분을 두 장의 총넓이로 말한다면, 먼저 눈에 보이는 영역과 실제 종이 두 장이 가진 넓이를 구분해 볼 필요가 있습니다.

밑변에 수직인 높이를 찾아 한 장의 넓이부터 구하기

교사는 삼각형 종이에서 밑변 6cm를 짚고, 그 밑변 또는 밑변의 연장선에 직각 표지가 닿는 선을 찾아보게 합니다. 꼭짓점에서 밑변에 수직으로 내려온 거리가 높이 4cm입니다. 아이가 직사각형의 넓이를 구할 때처럼 가로와 세로를 곱하려 한다면, 삼각형은 같은 크기의 삼각형 두 개를 붙여 직사각형 모양으로 생각할 수 있음을 종이로 보여 줍니다. 직사각형 넓이는 6×4=24cm²이고, 그중 삼각형 한 장은 절반이므로 한 장의 넓이는 6×4÷2=12cm²입니다.

이 과정에서 교사는 아이가 직각 표지를 밑변과 다른 선 사이에 놓아 보는지, 높이를 삼각형의 비스듬한 변으로 잘못 고르지는 않는지 확인합니다. 말로 이유를 설명하기 어렵다면 아이가 밑변을 손가락으로 짚고, 그 선에 직각으로 만나는 높이를 가리키거나 직접 그려도 됩니다. 밑변과 높이가 서로 대응하는지 행동으로 확인한 뒤 계산식과 연결합니다.

포개 보이는 영역과 두 장의 총넓이 구별하기

이제 아이가 두 삼각형을 완전히 포개도록 한 장을 다른 장 위에 올려놓고, 겹쳐 보이는 영역을 손가락으로 따라가 봅니다. 겹친 부분은 삼각형 한 장의 크기이므로 눈에 보이는 영역은 12cm²입니다. 그러나 종이 자체는 두 장이므로 두 장의 넓이를 합하면 12+12=24cm²입니다. 포개는 행동은 두 종이를 같은 위치에 겹치는 것이지, 종이 한 장이 사라지거나 넓이가 합쳐져 겉으로 드러나는 것이 아닙니다.

교사는 “지금 손가락으로 가리킨 부분은 몇 장의 모양인가?”, “종이를 한 장씩 펼치면 모두 몇 cm²인가?”라고 나누어 묻습니다. 아이가 먼저 겹친 부분을 24cm²라고 말하더라도 답을 바로 외우게 하기보다, 종이를 한 장씩 옆으로 옮겨 두 장을 보이게 합니다. 아이는 각 삼각형의 넓이를 다시 12cm²로 확인하고, 두 장을 가리키며 12+12=24cm²를 계산합니다. 문제와 삼각형 종이는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서 다시 6cm와 4cm를 확인해 포개기, 펼치기, 계산하기를 직접 해 보게 합니다.

방향과 꼭짓점이 달라져도 밑변과 높이로 확인하기

새 문제에서는 밑변 10cm와 높이 4cm가 표시된 삼각형 종이를 준비해 반 바퀴 돌려 봅니다. 모양의 방향이 달라져도 밑변에 수직인 높이는 4cm로 대응하므로 넓이는 10×4÷2=20cm²입니다. 아이가 종이를 돌린 뒤 넓이도 달라졌다고 생각한다면, 먼저 어느 선을 밑변으로 정했는지와 그 선에 직각인 거리가 얼마인지 다시 표시하게 합니다. 방향이나 위치가 바뀐 것과 실제 넓이가 바뀐 것은 구별해야 합니다.

마지막으로 밑변 6cm를 그대로 두고, 그 밑변과 평행한 선에서 꼭짓점을 옆으로 옮긴 삼각형을 비교할 수 있습니다. 꼭짓점의 위치가 옆으로 달라져도 밑변과 수직인 높이가 4cm라면 넓이는 여전히 6×4÷2=12cm²입니다. 다음 활동에서는 아이가 답 12cm²나 20cm²를 기억해서 말하는 데서 그치지 않고, 밑변을 짚고 직각 표지나 높이를 찾아 같은 식을 세우는지 확인합니다. 필요하면 종이를 돌리고 옮기면서, 달라진 조건과 그대로인 조건을 직접 가리켜 보게 합니다.