금천동 고등수학과외

답을 가린 재시도에서 ‘그리고’와 ‘또는’ 구별하기

풀이와 답을 가린 뒤 실수 x에 대해 (x−2)(x+1)=0을 다시 세워 본다. 이때 먼저 “곱이 0일 때 두 인수가 모두 0이어야 하는가?”라고 묻는다. 이렇게 답했다면 x−2=0이고 x+1=0이어야 하므로 해가 없다고 판단한 셈이다. 그러나 이 결론만으로 원인을 확정하지 않고, 학생에게 0·3=0이 맞는지 직접 계산하고 두 인수 중 하나만 0이어도 곱 전체가 0이 되는지 표시하게 한다. 두 조건을 동시에 만족해야 하는 상황과 둘 중 하나를 만족하면 되는 상황을 말로 구분하게 한 뒤, 원래 식의 조건이 어느 쪽인지 대조한다.

방정식을 변형할 때는 모든 값을 대상으로 나누어도 되는지 먼저 살펴야 한다. 나누려는 식이 0일 수 있다면 그 경우를 지우지 말고 따로 남겨야 한다. 곱이 0이라는 사실은 한 인수가 0이거나 다른 인수가 0이라는 뜻이므로, 두 조건은 ‘그리고’가 아니라 ‘또는’으로 연결된다. 학생이 직접 x−2=0 또는 x+1=0을 세우고 각각 x=2, x=−1을 얻도록 한다. 그다음 후보를 원래 방정식에 대입해 x=2에서는 0·3=0, x=−1에서는 (−3)·0=0임을 확인한다. 두 값을 동시에 넣으라는 뜻이 아니라, 각각 하나의 인수를 0으로 만든다는 점이 핵심이다.

잘못된 식이 뜻하는 조건과 원래 식을 대조하기

“x−2=0이고 x+1=0”이라는 표현은 실제로 x가 2이면서 동시에 −1이어야 한다는 뜻이다. 그런 실수는 없으므로 이 식의 해가 없는 것은 맞지만, 원래 곱셈식의 해가 없다는 근거는 아니다. 학생에게 두 식을 각각 풀어 얻은 값과 두 식을 동시에 풀어야 할 때의 결과를 나란히 표시하게 하면, 기호 하나가 조건의 범위를 어떻게 바꾸는지 확인할 수 있다. 이 과정에서 외운 ‘곱이 0이면 인수 중 하나가 0’이라는 문장을 그대로 말하는 데 그치지 않고, 각 후보를 원래 식에 대입해 성립 여부를 검산하게 한다.

정답은 x=−1, 2이다. 중요한 성립 조건은 실수 범위에서 두 인수의 곱이 0이라는 점이며, 두 인수를 모두 0으로 만들 필요는 없다. 수치 대입은 이 두 후보가 실제로 식을 만족하는지 확인하는 검산으로 사용하고, 규칙 자체는 곱이 0이 되려면 적어도 한 인수가 0이어야 한다는 성질로 설명한다.

조건을 남긴 채 계수의 경우를 나누어 다시 적용하기

다음에는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 실수 a에 대해 ax=1의 실수해를 처음부터 세운다. 먼저 a=0인 경우를 빠뜨리지 않고 0·x=1이라고 적는다. 어떤 실수 x를 넣어도 좌변은 0이므로 해가 없다. a≠0인 경우에만 양변을 a로 나눌 수 있고 x=1/a를 얻는다. 이때 a(1/a)=1이라는 계산으로 확인한다. 따라서 a=0이면 해 없음, a≠0이면 x=1/a이다.

앞의 문제와 새 문제는 모두 특정 조건을 지우지 않고 경우를 나누어야 한다는 점에서 연결되지만, 표현을 바꾼 같은 문제로 보아서는 안 된다. 이번에는 계수 a가 0인지에 따라 나눗셈의 성립 여부와 해의 존재가 달라진다. 학생이 기본 답을 외운 것인지, 달라진 조건을 실제로 분석한 것인지는 a=0을 먼저 기록했는지와 그때의 식을 직접 대조했는지로 구별한다. 마지막 재시도에서는 확인 질문만 남긴다. “나누기 전에 0이 될 수 있는 값은 무엇인가?”, “빠진 경우가 있는가?”에 답하며 식을 세우게 하고, 약분이 등장하는 문제라면 x=0 같은 제외 후보도 약분 전후에 대입해 조건을 확인한다.