용담동 중등수학과외

“10x−x=9.9이므로 x=1.1”이라는 답안에서 시작하기

중2 유리수와 소수 수업에서 학생은 다음 문항을 풀었다. x=0.999…이고 9가 끝없이 반복될 때, x의 정확한 값을 분수로 구하는 문제였다. 학생은 먼저 x=0.999…라고 놓고 양변에 10을 곱한 뒤, “10x−x=9.9이므로 x=1.1”이라고 적었다. 용담동중등수학과외 수업에서는 이 답을 곧바로 틀렸다고 정리하지 않고, 학생이 어느 계산까지는 맞게 처리했는지와 처음 판단이 달라진 지점을 분리해 확인한다.

학생이 x에 10을 곱해 10x를 만든 선택 자체는 순환되는 9의 위치를 맞추려는 시도였다. 교사는 답안 옆에 두 식을 나란히 쓰게 하며 짧게 물었다. “10x의 소수 부분은 어디까지 이어지니?” 학생은 10x를 9.999…로 써야 한다는 점을 바로 말하지 못하고, 소수 첫째 자리의 9만 보며 9.9라고 적었다. 여기서 확인할 판단은 곱셈 자체가 아니라, 끝없이 반복되는 꼬리를 차감할 때 두 식의 소수 부분을 같은 자리에 놓았는지에 있다.

두 식의 소수 부분을 같은 자리에 맞추기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 10x와 x를 세로로 맞춰 보여 준다.

10x=9.999…
x=0.999…

그다음에는 “반복되는 9가 어느 자리에서 계속 이어지지?”라고 묻는다. 학생이 두 식의 소수 부분을 같은 자리에 표시하도록 한 뒤, 교사는 필요한 관계만 한 단계 시범으로 제시한다. 9.999…와 0.999…에서는 소수 부분의 9가 모두 같은 위치에 반복되므로, 빼면 소수 부분이 남지 않는다. 따라서 앞서 적은 10x−x=9.9는 10x의 순환 꼬리를 한 자리만 남긴 표현이라 조건과 맞지 않는다. 학생이 말로는 “반복되는 부분을 없앤다”고 설명하면서 식에는 9.9를 썼다면, 교사는 설명과 기록이 같은지 다시 대조하고 옮겨 쓰는 과정을 확인한다.

학생이 직접 다시 쓴 식과 9/9 검산

학생은 교사의 표시를 참고한 뒤 나머지 계산을 직접 이어 쓴다. 먼저 10x=9.999…로 적고, 원래 식 x=0.999…를 같은 자리에 맞춘다. 그러면

10x−x=9
9x=9
x=1

처음 풀이와 달라진 부분은 10을 곱한 결과를 9.9로 멈추지 않고 9.999…로 기록한 점, 그리고 순환 꼬리를 자리 맞춰 뺀 점이다. 학생은 마지막 식을 단순히 다시 계산하는 대신, 순환소수를 분수로 나타내면 9/9=1이라는 근거를 이용해 답을 확인한다. 또한 유한소수 0.999와 끝없이 반복되는 표기 0.999…는 같은 방식으로 읽으면 안 된다는 점도 조건 옆에 표시한다. 이렇게 하면 검산은 원래 뺄셈을 그대로 반복하는 것이 아니라, 분수화와 표기의 차이를 대조하는 방식이 된다.

1.24999…에서 근사와 정확한 등식 구분하기

이제 조건을 바꾼 문제를 제시한다. x=1.24999…에서 소수 셋째 자리부터 9가 끝없이 반복될 때, 1000x−100x를 이용해 x의 정확한 값을 구하는 문제다. 정수 1로 이어지는 반복이 아니라 소수 둘째 자리의 25 뒤에서 9가 반복된다는 점이 달라졌지만, 같은 순환 꼬리를 자리 맞춰 빼는 원리는 유지된다.

학생은 먼저 반복이 시작되는 위치에 맞춰 식을 쓴다.

1000x=1249.999…
100x=124.999…

두 식을 빼면 소수 부분이 모두 소거되어 900x=1125가 된다. 따라서 x=1125/900=1.25이다. 학생은 1.24999를 1.25에 가까운 근삿값으로만 처리하지 않고, 끝없이 반복되는 표기에서 얻은 정확한 등식으로 답을 설명해야 한다. 다음 수업에서는 대표 문제의 조건과 자료를 그대로 제시하되 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생이 풀이를 시작할 때 반복되는 꼬리를 같은 자리에 맞춰 직접 빼고, 계산 뒤에는 9/9=1 또는 1.25×900=1125와 같은 별도 근거로 조건과 답이 일치하는지 설명하는지를 확인한다.