대구남구 중등수학과외

같은 y좌표를 가진 두 점에서 시작한 질문

학생은 먼저 “두 점 (1,5), (4,5)를 지나는 직선의 식을 구하고, 중학교에서 정의하는 일차함수 y=ax+b(a≠0)인지 판단하라”는 문제를 받았다. 두 점의 y좌표가 모두 5라는 조건을 표시한 뒤, y의 변화량이 0이므로 직선은 y=5라고 적었다. 이어 기울기는 0이고 식에서 a=0이므로, 주어진 정의의 일차함수는 아니라고 판단했다. 두 점이 모두 y=5 위에 있고 x가 달라져도 y가 변하지 않는다는 점까지 말했을 때, 학생은 계산 결과와 정의 조건을 연결하고 있었다.

이 장면을 출발점으로 대구남구중등수학과외 수업에서는 수평선의 판단을 그대로 외우게 하지 않고, 기울기와 절편을 각각 어떻게 정하는지 확인한다. 교사는 “두 점의 y좌표가 같다는 조건이 기울기에 어떤 값을 만들지 말해 볼래?”라고 묻고, 학생이 y의 변화량을 5−5=0으로 적는지 지켜본다. 다만 이 새 문제에서는 두 점의 y좌표가 같다는 조건이 핵심이므로, 절편을 잘못 고른 대표 문제와는 판단 지점이 다르다는 것도 구분하게 한다.

y=−2x+5에서 처음 달라진 판단 찾기

교사는 앞서 제시한 수평선 문제의 조건을 잠시 남겨 둔 채, 비교할 대표 문항을 제시했다. “두 점 (1,5), (4,−1)을 지나는 일차함수의 식을 구하라”는 문제에서 학생은 y=−2x+5라고 썼다. 기울기 계산은 올바르게 처리했다. 실제로 기울기는 (−1−5)/(4−1)=−6/3=−2이다. 처음 달라진 판단은 점 (1,5)의 y좌표 5를 절편으로 바로 사용한 부분이었다.

교사는 정답을 곧바로 말하지 않고 “절편은 x가 어떤 값일 때의 y일까?”라고 짧게 물었다. 학생이 x=0일 때의 y라고 답하면, 교사는 “그럼 점 (1,5)에서 x가 0인가?”라고 다시 확인한다. 점의 x좌표가 1이라는 사실을 표시한 뒤, 5를 바로 절편으로 쓸 수 없다는 관계만 설명한다. 이 질문에 기준 자체를 고르지 못한다면 절편의 뜻을 다시 확인하고, 기준은 맞게 말하지만 계산 결과만 다르면 대입 과정을 한 줄씩 살핀다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않는 이유가 여기에 있다.

한 점을 대입해 절편을 직접 완성하기

교사는 기울기까지 대신 구해 주지 않고, 학생이 이미 얻은 −2를 식 y=−2x+b에 사용하도록 했다. 학생은 점 (1,5)를 대입해 5=−2×1+b라고 적었다. 따라서 5=−2+b이고, 양변에 2를 더해 b=7을 구했다. 학생이 직접 완성한 수정 풀이에서는 “기울기=(−1−5)/(4−1)=−2, y=−2x+b에 (1,5)를 넣어 b=7”이라는 순서가 드러났다. 최종 식은 y=−2x+7이다.

처음 풀이와 달라진 부분은 기울기가 아니라 절편을 정하는 방법이다. 처음에는 한 점의 y좌표를 절편으로 취급했지만, 수정할 때에는 그 점의 x좌표까지 식에 대입해 b를 계산했다. 이 과정을 멈추는 순간 교사는 “(1,5)의 x는 0이 아니야. 다음 줄에는 무엇을 대입할까?”라고 한 관계만 되짚고, 식의 다음 줄은 학생이 직접 쓰게 한다.

두 점 대입과 수평선 조건으로 확인하기

수정한 식은 본풀이를 반복하지 않는 방식으로 확인했다. 먼저 x=1을 넣으면 y=−2×1+7=5이고, x=4를 넣으면 y=−2×4+7=−1이다. 따라서 계산한 식이 두 점을 모두 지난다. 대표 문제의 두 점은 y좌표가 달라 기울기 −2가 되었지만, 새 문제에서는 y좌표가 같아 기울기 0이 된다. 공통 원리는 두 점의 변화량을 비교하는 것이고, 달라지는 조건은 y의 변화량과 일차함수 정의의 a≠0 여부이다.

다음 확인에서는 오답과 수정 풀이를 가린 채 대표 문제를 다시 제시한다. 학생은 두 점 (1,5), (4,−1)을 보고 기울기 −2를 구한 뒤, 한 점을 y=−2x+b에 대입해 절편을 계산해야 한다. 이어 두 점 (1,5), (4,5)를 지나는 직선에서는 y의 변화량이 0이므로 y=5를 쓰고, a=0이라 해당 정의의 일차함수가 아님을 스스로 판단하게 한다. 교사는 두 문제에서 학생이 x=0일 때의 값이라는 절편의 기준을 선택하는지, 두 점을 대입한 식과 수평선 조건을 근거로 설명하는지를 확인한다.