대구동구 중등수학과외

“∠IBC의 꼭짓점은 어느 문자일까?”

수업은 학생이 각 표기의 가운데 문자를 확인하지 않고 계산을 시작하려는 장면에서 출발한다. 교사는 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠A=50°, ∠B=60°라는 조건을 보여 준 뒤 짧게 묻는다. “∠IBC의 꼭짓점이 A인지 B인지 말해 볼래?” 학생은 가운데 문자가 B라는 점을 바로 확인해야 한다. 대구동구중등수학과외 수업에서는 학생이 문제에 적힌 각의 이름과 실제로 나누어야 할 꼭짓점을 연결해 설명하는지를 먼저 확인한다.

교사는 곧바로 풀이 전체를 말하지 않고, “BI는 어느 꼭짓점의 각을 나누지?”라고 다시 질문한다. 학생이 A라고 답한다면 각 표기의 순서를 소리 내어 읽게 한다. ∠IBC는 첫 번째와 세 번째 문자가 변을 나타내고 가운데 문자 B가 꼭짓점임을 표시한다. 따라서 내심의 성질에 따라 BI는 B의 60°를 둘로 나눈다. 교사는 ∠IBC=60°÷2=30°까지만 한 단계로 보여 주고, C에서 시작하는 각은 학생이 직접 이어 쓰게 한다.

25°가 나온 풀이에서 달라진 판단 찾기

학생은 처음에 ∠IBC=25°라고 적었다. 이 답만 보고 곧바로 개념을 모른다고 단정하지 않고, 교사는 “25°는 어느 꼭짓각을 절반으로 나눈 값이라고 생각했어?”라고 묻는다. 학생이 A의 50°를 절반으로 보았다고 말한다면, 말로 설명한 기준과 종이에 적힌 계산을 나란히 대조한다. 이때 학생이 꼭짓점은 B라고 말하면서도 50°÷2를 적었다면, 각 표기를 옮겨 적는 과정에서 판단과 계산이 달라졌는지도 따로 확인한다.

학생은 조건을 다시 읽고 ∠C를 삼각형의 내각의 합으로 계산한다. ∠C=180°-50°-60°=70°이다. 이어서 가운데 문자를 기준으로 각을 나누어 ∠IBC=60°÷2=30°, ∠ICB=70°÷2=35°라고 직접 수정한다. 처음 풀이에서는 A의 50°를 사용해 25°를 만들었지만, 수정 풀이에서는 ∠IBC의 가운데 문자인 B와 ∠ICB의 가운데 문자인 C를 각각 찾아 해당 내각을 절반으로 나눈 점이 달라졌다.

삼각형 BIC로 답을 다른 방식으로 검산하기

수정한 두 값을 본계산과 똑같이 다시 더하지 않고, 삼각형 BIC의 세 각 관계로 확인한다. ∠IBC와 ∠ICB의 합은 30°+35°=65°이므로 ∠BIC=180°-65°=115°이다. 내심에서 두 각의 관계를 이용하면 ∠BIC는 90°+∠A÷2=90°+25°=115°이므로 같은 결과가 나온다. 학생은 “B와 C의 내각을 각각 반으로 나누었기 때문에 BIC의 나머지 각이 115°가 되고, 이는 A의 절반을 이용한 관계와도 맞는다”고 말하며 검산 근거를 설명한다.

이제 조건의 방향을 바꾼 문제를 제시한다. 삼각형 ABC의 내심이 I이고 ∠IBC=25°, ∠ICB=35°일 때 ∠A를 구하는 문제다. 학생은 먼저 BI가 B의 내각을 반으로 나눈다는 원리를 적용해 ∠B=25°×2=50°, CI가 C의 내각을 반으로 나눈다는 관계로 ∠C=35°×2=70°을 적는다. 이어 삼각형의 내각의 합에서 ∠A=180°-50°-70°=60°을 구한다. 전체 각을 반으로 나누던 대표 문제와 달리, 새 문제에서는 반쪽 각에서 전체 내각을 복원하는 방향으로 바뀌었지만 각의 가운데 문자를 먼저 확인하는 원리는 유지된다.

다음 수업에서는 대표 문제의 자료와 기존 풀이·정답을 가린 상태에서 같은 문제를 다시 시작한다. 학생이 첫 줄에서 각 표기의 가운데 문자를 보고 ∠IBC에는 B의 60°를, ∠ICB에는 C의 70°를 연결하는지 확인한다. 이후 30°와 35°를 스스로 계산하고, 삼각형 BIC에서 두 각의 합이 65°이므로 ∠BIC=115°이며 90°+A/2와 일치한다고 설명하는지를 근거로 남긴다.