달성군 중등수학과외

“3a−2a−4”가 된 순간을 다시 묻다

중1 문자와 일차식 수업에서 학생은 3a−2(a−4)를 간단히 하라는 문제를 보고 “3a−2(a−4)=3a−2a−4=a−4”라고 적었다. 3a에서 2a를 빼서 a로 정리한 부분만 보면 동류항을 모으려는 방향은 드러난다. 그러나 괄호 앞의 −2가 괄호 안 두 항에 모두 곱해져야 한다는 조건과는 맞지 않는 줄이 생겼다. 달성군중등수학과외 수업에서는 이 답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 어느 계산에서 판단을 바꾸었는지 짧게 확인한다.

교사는 풀이 전체를 다시 설명하기보다 “−2×(−4)는?”이라고 묻는다. 학생이 8이라고 답하면 부호 곱셈 자체보다 둘째 항에 분배하지 않은 가능성을 먼저 확인하고, −8이라고 답하면 음수와 음수의 곱을 계산하는 과정을 다시 살핀다. 말로 8을 답했는지만으로 충분하다고 보지 않고, 실제로 다음 계산 줄에 어떤 항을 쓰는지도 함께 본다. 질문의 답과 작성한 식이 서로 맞는지 비교해야 말로 알고 있는 내용과 풀이에서 빠진 행동을 나누어 확인할 수 있다.

−2를 두 항에 각각 곱해 수정하기

교사는 학생의 원래 식에서 괄호 앞 −2를 표시한 뒤, “−2는 a와 −4에 각각 곱해진다. 첫 곱은 −2a다”까지만 보여 준다. 풀이 전체를 대신 적지 않고, 괄호 안에 a와 −4라는 두 항이 있다는 점을 다시 가리킨다. 이제 학생이 직접 두 곱을 적도록 하자, −2×a는 −2a로, −2×(−4)는 +8로 바꾸어 3a−2a+8을 만들었다.

학생은 이어서 3a−2a를 정리하여 3a−2a+8=a+8이라고 완성했다. 처음 풀이의 “−2a−4”에서 수정 풀이의 “−2a+8”로 바뀐 것이 핵심이다. 첫째 항에는 −2가 곱해졌고, 둘째 항에는 −2와 −4가 함께 곱해졌다는 차이를 학생에게 말로 설명하게 한다. 교사는 “왜 −4가 +8이 되었지?”라고 묻고, 학생이 음수와 음수의 곱이라서 양수가 되며 2×4=8이라고 식과 이유를 함께 말하는지 확인한다.

a=0 대입과 항의 대응으로 확인하기

수정한 답이 맞는지는 같은 분배 계산을 그대로 반복하지 않는 방식으로 확인한다. a=0을 원식에 넣으면 3×0−2(0−4)=0−2(−4)=8이다. 수정식 a+8에 a=0을 넣어도 0+8=8이므로 두 표현의 값이 일치한다. 또한 분배한 식의 항이 원래 구조에 맞는지도 대조한다. 3a에서는 3a가 남고, −2(a−4)에서는 −2a와 +8이 나와 3a, −2a, +8이라는 세 항이 생긴다. 단순히 같은 계산을 한 번 더 적은 것이 아니라, 특정 값을 대입하고 각 항의 출처를 확인한 것이다.

다음에는 조건을 바꾼 −(2a−5)+3(a+1)을 제시한다. 여기서는 음수 계수의 크기 1을 따로 쓰지 않고, 다른 괄호에는 양수 배수 3이 붙는다. 학생은 −가 2a와 −5에 각각 분배되어 −2a+5가 되고, 3은 a와 1에 각각 분배되어 3a+3이 되는 과정을 직접 적어야 한다. 이어서 −2a+3a를 모아 −2a+5+3a+3=a+8을 완성한다. 마지막으로 a=0을 대입해 원식이 8, 정리한 식도 8인지 확인하고, a의 계수가 −2+3=1이라는 근거를 말하는지 관찰한다. 다음 수업에서는 대표 문제와 조건만 남긴 뒤 기존 풀이를 가리고, 학생이 두 항에 분배한 식과 그 이유를 도움 없이 쓰는지 확인한다.