대구남구 수학과외

아래 내용은 수업 방법을 설명하기 위한 학습 예시입니다.

10% 소금물 200g을 만들기 위해 농도가 5%와 15%인 두 소금물을 섞는 문제에서 학생은 처음에 “농도 합이 20%라 불가능하다”고 판단했다. 계산을 못해서 멈춘 것이 아니라 5%와 15%라는 두 수를 먼저 더한 뒤, 그 결과를 만들어야 할 10%와 비교한 것이다. 대구남구 수학과외 수업에서는 이 답을 바로 고치기보다 학생이 왜 농도끼리 더해야 한다고 생각했는지부터 확인했다.

확인할 기준은 농도 자체와 실제 소금의 양을 구분하는 것이었다. 농도는 소금의 질량을 소금물 전체 질량으로 나눈 비율이므로, 서로 다른 소금물을 섞을 때 5와 15를 그대로 더하는 것으로는 결과 농도를 판단할 수 없다. 5% 소금물의 질량을 xg, 15% 소금물의 질량을 yg으로 두고 전체 소금물의 양과 그 안에 포함된 소금의 양을 각각 식으로 나타내게 했다.

학생은 전체 질량에서 x+y=200을 세우고, 소금의 질량에서는 0.05x+0.15y=20을 만들었다. 첫 번째 식의 0.05배를 두 번째 식에서 빼자 0.10y=10이 되었고, y=100과 x=100을 구할 수 있었다. 처음의 답과 비교하면서 바뀐 것은 단순히 계산 방법이 아니라 ‘농도를 더한다’는 판단을 ‘각 소금물에 들어 있는 소금의 양을 더한다’는 기준으로 고친 것이라고 정리했다.

답을 구한 뒤에는 5% 소금물 100g에 소금이 5g, 15% 소금물 100g에 소금이 15g 들어 있는지 따로 확인했다. 두 양을 합치면 소금은 20g이고 전체 소금물은 200g이므로 20÷200=0.10, 즉 10%가 된다. 식을 세운 과정과 실제 농도 계산이 같은 결과를 가리키는지까지 확인하면서 풀이를 마쳤다.

같은 판단을 새로운 조건에서도 사용할 수 있는지는 10%와 20% 소금물로 15% 소금물 200g을 만드는 문제로 확인했다. 학생은 농도 숫자를 먼저 더하지 않고 두 소금물의 질량을 각각 미지수로 놓았고, 전체 질량과 소금 질량을 분리해 두 식을 세웠다. 이번에도 각각 100g이라는 결과를 얻었다.

여기서 한 단계 더 확인할 부분은 두 농도의 단순 평균이 항상 결과 농도가 되는 것은 아니라는 점이다. 5% 소금물 100g과 15% 소금물 300g을 섞으면 소금은 50g, 전체 소금물은 400g이어서 농도는 12.5%가 된다. 이후에는 숫자의 가운데값을 먼저 찾기보다 각 소금물의 양까지 함께 보고 농도를 판단하는지가 다음 점검 기준이 된다.