대구남구 고등수학과외

이번에는 한 점에서 도함수가 0이어도 함수 전체가 증가할 수 있는 경우를 먼저 살펴본다. 문제는 f(x)=x³을 실수 전체에서 증가하는지, x=0에서 극값을 갖는지 판단하는 것이다. 도함수는 f′(x)=3x²이므로 x≠0에서는 양수이고 x=0에서만 0이다. 따라서 도함수의 값이 한 점에서 0이라는 사실만으로 극값이라고 결론 내릴 수 없다. 학생은 x=0의 양쪽에서 도함수가 모두 양수인지 표시하고, 증가 방향이 바뀌지 않는지 확인해야 한다.

조건이 달라졌을 때 결론을 만드는 확인

교사는 풀이와 정답을 먼저 보여 주지 않고 문제와 조건만 남긴 채, 학생이 도함수의 부호표와 양쪽 함수값을 직접 적게 한다. x<0, x=0, x>0에서 3x²의 부호를 나누어 표시하고, 0의 왼쪽과 오른쪽에서 함수가 어느 방향으로 변하는지 비교한다. x=0에서 미분계수가 0이라는 정보와 주변 구간에서 증가하는 정보는 같은 뜻이 아니므로, 한 점의 기울기만으로 극값을 정하지 않도록 한다. 실제로 a<b이면 a³<b³이므로 f(b)−f(a)=b³−a³=(b−a)(a²+ab+b²)>0이다. 따라서 f(x)=x³은 실수 전체에서 엄격히 증가하고, x=0은 극값점이 아니다.

기본 식에서 부호와 정의를 분리해 보기

이제 배움노트 고등수학 수업의 기본 예시로 f(x)=x³+x를 실수 전체에서 증가·감소하는지 판단한다. 이렇게 답했다면 “x<0이면 x³+x<0이므로 감소한다”라고 쓸 수 있지만, 함숫값의 부호와 도함수의 부호는 서로 다른 정보다. 먼저 f′(x)=3x²+1을 계산하면 모든 실수에서 f′(x)>0이다. 증가·감소는 함수값이 양수인지 음수인지가 아니라 구간에서 도함수가 어떤 부호를 유지하는지로 판단한다. 또 평균값 정리를 적용할 때는 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능해야 한다. 이 함수는 실수 전체에서 그 조건을 만족하므로 a<b에 대해 어떤 c∈(a,b)가 존재하여 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)>0이다.

학생은 교사의 설명 다음 줄을 직접 이어 “모든 실수에서 엄격히 증가한다”고 정리한다. 같은 결론은 인수분해로도 확인할 수 있다. f(b)−f(a)=b³−a³+b−a=(b−a)(a²+ab+b²+1)이고, a<b이면 첫 번째 인자는 양수이며 두 번째 인자는 항상 양수다. 그러므로 실수 전체에서 증가한다. 예시 오답을 고칠 때에는 문장만 지우지 말고, “x<0이면 감소”라는 결론을 f′(x)=3x²+1>0이라는 식으로 바꾸어 표시하게 한다.

풀이를 가린 상태에서 다시 적용하기

마지막에는 문제와 조건, 필요한 도함수 계산 공간만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 f(x)=x³을 다시 해결한다. 표현만 바꾼 것이 아니라 x=0에서 도함수가 0이라는 조건이 추가된 문제이므로, 학생은 먼저 구간별 부호를 조사한 뒤 극값 여부를 별도로 판단해야 한다. x≠0에서는 f′(x)>0이고 x=0에서만 f′(x)=0이지만, 함수의 증가 방향은 바뀌지 않는다. 한 점의 기울기만으로 구간 전체를 말하지 않도록 인접한 두 구간을 각각 살핀 뒤, a<b일 때 a³<b³이라는 비교까지 적으면 결론을 독립적으로 확인할 수 있다.