신시가지 중등수학과외

학생은 닮은 두 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 풀고 “B 넓이=12+(10−4)=18cm².”라고 적었다. 문제의 조건은 삼각형 A와 B의 대응변 길이가 각각 4cm와 10cm이고, A의 넓이가 12cm²라는 것이었다. 신시가지중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 고치기보다 학생이 어느 순간에 판단을 바꾸었는지 답안과 조건을 나란히 놓고 확인했다. 10−4=6은 두 대응변의 길이 차이이므로 단위가 cm이다. 반면 구하려는 값은 넓이이므로 cm²로 나타내야 한다.

“6cm를 12cm²에 더해도 될까?”라는 확인

교사는 학생에게 짧게 물었다. “cm인 길이 차를 cm² 넓이에 더해도 될까?” 학생이 단위가 다르다는 점을 기준으로 바로 설명하는지, 아니면 식에 나온 숫자만 보고 더하기를 선택하는지 먼저 들었다. 이 질문에서 기준 자체를 고르지 못한다면 닮은 도형에서 길이와 넓이가 어떻게 연결되는지 다시 확인해야 한다. 반대로 “길이와 넓이는 단위가 다르다”고 말하면서도 18cm²를 적었다면, 개념을 모른다고 단정하지 않고 계산을 한 줄씩 되짚어야 한다.

학생은 길이 차를 계산한 것 자체는 맞았지만, 그 차이를 넓이에 더한 것이 처음 달라진 판단이라고 표시했다. 교사는 “넓이는 어느 길이의 변화로 정해질까?”라고 한 번 더 물은 뒤, 대응변이 일정한 비율로 커질 때 밑변과 높이도 같은 비율로 변한다는 부분까지만 설명했다. 길이와 넓이는 서로 다른 차원의 양이므로 그대로 더할 수 없다는 점을 답안 옆에 간단히 적었다. 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 다음 줄부터는 학생이 배율을 선택하도록 했다.

길이 배율을 제곱해 넓이 배율로 바꾸기

학생은 먼저 두 대응변의 비를 구했다. 10/4=5/2이므로 삼각형 B의 해당 길이는 삼각형 A의 5/2배이다. 닮은 삼각형에서는 밑변도 5/2배, 높이도 5/2배가 되므로 넓이는 한 번의 길이 배율이 아니라 두 길이 배율의 곱으로 변한다. 학생은 교사의 다음 계산을 따라 적는 대신 직접 다음 식을 완성했다.

넓이 배율=(5/2)×(5/2)=(5/2)²=25/4
B의 넓이=12×25/4=3×25=75cm²

처음 풀이에서는 10과 4의 차이인 6을 사용했지만, 수정 풀이에서는 두 길이의 비인 5/2를 구하고 이를 제곱했다. 학생은 “넓이는 밑변과 높이가 함께 변하므로 길이비를 두 번 곱해야 한다”고 자신의 말로 설명한 뒤 최종 답을 75cm²라고 적었다.

더하기가 아닌 도형 관계로 검산하기

이번에는 같은 곱셈을 단순히 다시 반복하지 않고 도형의 변화를 이용해 답을 확인했다. 삼각형 B는 삼각형 A와 닮았고, 대응하는 밑변과 높이가 각각 5/2배이다. 따라서 넓이는 (5/2)×(5/2)=25/4배가 되어야 한다. 12cm²에 25/4를 곱하면 75cm²가 되므로, 길이 차를 더해 얻은 18cm²는 넓이 배율을 반영하지 못한 값이다. 또 75는 12보다 25/4배 크므로, 대응변이 4cm에서 10cm로 커진 조건과도 맞는다. 이처럼 단위와 밑변·높이의 변화까지 함께 대조해 정답을 확인했다.

넓이비에서 길이비를 거꾸로 찾는 적용

새 문제에서는 방향을 바꾼다. 닮은 두 삼각형의 넓이비가 9:25이고 작은 삼각형의 한 변이 6cm일 때, 대응하는 큰 변을 구하는 문제다. 대표 문제에서는 길이비를 먼저 구해 넓이비로 바꾸었지만, 이번에는 넓이비 9:25에서 길이비를 찾아야 한다. 넓이비는 길이비의 제곱이므로 길이비=√9:√25=3:5이다. 따라서 큰 변은 6×5/3=10cm이다. 마지막으로 (6/10)²=36/100=9/25를 계산해 넓이비와 일치하는지 확인한다. 다음 수업에서는 문제·조건은 그대로 두고 풀이와 답을 가린 뒤, 학생이 먼저 길이비와 넓이비 중 어느 기준을 선택해야 하는지 말하고 식을 시작하는지 확인한다. 설명이 필요할 때는 “서로 다른 차원의 양은 그대로 더할 수 없다”는 관계만 되짚고, 배율을 제곱하는 다음 줄은 학생이 직접 결정하게 한다.