삼천동 중등수학과외

중3 근호를 포함한 식의 계산 시간, 교사는 학생이 적은 대표 문제 √12+√27을 간단히 하라와 답안 “√12=4√3.”을 나란히 놓았다. 삼천동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 알려 주기보다, 이 변형이 원래 근호의 값과 같은지 먼저 확인한다. 교사가 “(4√3)²이 12인지 확인해 볼까?”라고 묻자 학생은 계수 4와 근호 안의 3을 곱해 48이라고 말했다. 그러자 교사는 말로 설명한 기준과 실제로 적은 계산이 일치하는지 함께 대조했다. 학생이 제곱 인수를 밖으로 꺼낼 때 그 수 자체를 적은 것인지, 제곱근을 적은 것인지 구분하지 못했을 가능성을 열어 두고 옮겨 쓰는 과정도 살폈다.

√12를 4√3으로 쓸 수 있는지 대조하기

교사는 학생의 답안 바로 아래에 √12=4√3을 그대로 다시 적고, 양변을 제곱하는 한 단계만 시범으로 보였다. 오른쪽은 (4√3)²=4²×3=16×3=48이므로 12와 같지 않다. 따라서 처음 달라진 판단은 √12에서 4를 그대로 밖으로 낸 부분이다. 교사는 “4의 제곱근은 얼마지?”라고 짧게 묻고, √12를 √(4×3)으로 분해해 보였다. 4는 2²이므로 √(4×3)=√(2²×3)=2√3이다. 설명은 여기서 멈추고, 학생이 다른 근호에도 같은 기준을 적용하도록 했다.

학생이 직접 고친 동류근호의 덧셈

학생은 먼저 밖으로 나오는 수도 제곱근으로 바꿔야 한다고 말한 뒤 풀이를 다시 썼다. √12=√(4×3)=2√3이고, √27=√(9×3)=3√3이다. 두 항 모두 √3을 포함하므로 동류근호끼리 계수만 더해 2√3+3√3=5√3이라고 정리했다. 처음 풀이에서는 4를 그대로 계수로 사용했지만, 수정 풀이에서는 4와 9에서 각각 제곱근을 구한 뒤 같은 근호의 계수를 계산했다. 교사는 “지금 더한 것은 서로 다른 근호인가, 같은 근호 다섯 개인가?”라고 물었고, 학생은 √3 다섯 개를 합친 것이라고 설명했다.

제곱 대조와 계수가 붙은 뺄셈

검산은 같은 덧셈을 반복하지 않고 각 변형의 값을 원래 수와 대조하는 방식으로 진행했다. (2√3)²=2²×3=12이고 (3√3)²=3²×3=27이므로 두 근호의 정리가 각각 조건에 맞는다. 그 뒤 새 조건으로 항 앞 계수와 뺄셈이 함께 있는 2√12−√27을 제시했다. 학생은 먼저 √12=2√3, √27=3√3으로 정리하고, 계수 2를 빠뜨리지 않도록 2×2√3−3√3=4√3−3√3=√3을 적었다. 원식의 첫 항은 √12 두 개이므로 4√3이고, 여기에서 3√3을 빼면 √3 하나가 남는다는 설명도 덧붙였다.

다음에 대표 문제의 자료만 다시 제시하고 기존 풀이와 정답은 가린 채, 학생이 풀이 첫 줄에서 밖으로 나오는 수도 제곱근으로 바꾸는지 확인한다. 이어 2√12−√27에서는 근호를 정리한 뒤 전체 계수로 계산하고, 마지막에 (2√3)²=12와 (3√3)²=27을 대조한 근거를 스스로 말하게 한다. 학생이 이 순서를 식으로 남기고 조건과 결과가 맞는 이유까지 설명하는지가 다음 관찰 지점이다.