신시가지 고등수학과외

두 값이 달라 양쪽 극한은 존재하지 않는다

수정 풀이의 출발점은 “두 값이 달라 양쪽 극한은 존재하지 않는다”이다. 주어진 함수는 x<0일 때 f(x)=−1, x≥0일 때 f(x)=1이다. x가 0의 왼쪽에서 가까워지면 음수인 입력이 계속 사용되므로 f(x)는 −1이고, 이를 식으로 쓰면 lim(x→0−)f(x)=−1이다. 반대로 0의 오른쪽에서 가까워지면 양수인 입력이 사용되므로 lim(x→0+)f(x)=1이다. 좌극한과 우극한이 서로 같아야 양쪽 극한이 존재하므로, lim(x→0)f(x)는 존재하지 않는다.

여기서 f(0)=1이라는 사실은 따로 확인할 수 있지만, 그것만으로 x가 0에 가까워질 때의 전체 모습을 결정하지는 못한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 점에서의 함숫값과 점 근처에서의 출력이 어떤 관계인지 식과 구간으로 나누어 적게 하여 두 판단을 섞지 않도록 한다.

“f(0)=1이므로 극한은 1”이라는 판단을 거슬러 확인하기

이렇게 답했다면 먼저 “음수 쪽에서 다가가면 출력은 얼마인가?”라고 묻는다. 학생이 원래 식의 x<0 부분을 다시 표시해 −1을 읽는지, 아니면 x=0을 대입한 값 1만 보고 있는지 확인한다. 오답 하나만으로 함숫값과 극한을 반드시 혼동한다고 단정하지 않고, 좌우에서 다가갈 때 같은 값이 되는지 직접 적어 보게 한다.

확인 과정에서는 x=0에서의 값, 0보다 작은 입력에서의 값, 0보다 큰 입력에서의 값을 각각 구분한다. 예를 들어 f(0)=1, x<0에서는 f(x)=−1, x>0에서는 f(x)=1이라고 표시하면, 한 점의 값과 좌우 근방의 값이 한눈에 나뉜다. 특정 수를 대입해 1이 나오는 것은 f(0)의 확인일 뿐이며, 양쪽 극한을 대신하는 근거가 아니다. 좌극한 −1과 우극한 1을 각각 적은 뒤 두 값이 같은지 대조해야 한다.

이 함수는 음수 구간 전체에서 출력이 −1이고 양수 구간 전체에서 출력이 1인 두 수평 구간으로 생각할 수 있다. 따라서 가까운 몇 점을 골라 보는 부분 검산은 좌우 값이 다름을 확인하는 데 도움을 주지만, 전체 극한의 결론은 두 구간에서 일정한 함수값과 좌우 극한의 정의로 설명한다.

표현을 바꾼 문제에서 좌극한만 다시 적용하기

풀이와 정답을 가린 뒤에는 문제와 조건만 남긴 상태에서 다음을 다시 해결한다. f(x)=−1(x<0), f(x)=1(x≥0)일 때 lim(x→0−)f(x)를 구하라. 이번에는 양쪽 극한이 아니라 왼쪽에서 접근하는 값만 묻는다는 점을 먼저 표시한다. x가 0보다 작은 상태로 0에 가까워지므로 해당 구간의 식 f(x)=−1을 사용하고, 좌극한은 −1이라고 쓴다. 정답은 −1이며 오른쪽 값 1은 이번 한쪽 극한의 판단 자료가 아니다.

마지막으로 학생은 처음 오답의 결론을 “f(0)=1이므로 극한은 1”에서 “좌극한은 −1, 우극한은 1이므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다”로 직접 바꾸어 표시한다. 이후에는 답을 외운 것인지 구별하도록 점의 위치나 구간의 조건을 바꾼 문제에서 좌우 접근 방향을 먼저 표시하게 한다. 대입으로 끝내지 않고 점의 함숫값과 가까운 점에서 사용하는 식을 따로 적는 습관이 다음 극한 문제의 출발점이 된다.