평화동 중등수학과외

“17cm 변 자체가 90°이다”라는 답안에서 시작하기

수업의 첫 장면에서 학생은 세 변의 길이가 8cm, 15cm, 16cm인 삼각형을 보고 “삼각형은 만들어지지만 직각삼각형은 아니다”라고 판단해야 했다. 그런데 바로 답을 쓰기보다, 비교할 대표 문제에서 자신이 직각을 어떻게 표현했는지 먼저 확인했다. 학생은 8cm, 15cm, 17cm인 삼각형에 대해 “17cm 변 자체가 90°이다”라고 적어 두었다. 평화동중등수학과외 수업에서는 이 문장을 정답 여부만으로 처리하지 않고, 숫자 17을 올바르게 찾은 부분과 각의 위치를 잘못 연결한 부분을 나누어 살핀다.

교사는 “각은 변 하나일까, 두 변이 이루는 회전량일까?”라고 짧게 물었다. 학생이 변 하나를 각이라고 계속 말한다면 가장 긴 변을 찾는 기준과 각의 뜻을 다시 확인한다. 반대로 각은 두 변이 만나 이루는 회전량이라고 말하면서도 17cm 변 자체가 90°라고 적었다면, 개념을 말로는 구분하지만 도형에 연결하는 과정에서 판단이 바뀐 것인지 풀이 한 줄씩 확인한다. 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 기준을 선택하는지와 선택한 기준을 문장으로 표현하는지를 따로 듣는 이유다.

8²+15²=17²에서 빗변과 직각의 위치 연결하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 가장 긴 변 17cm를 직각 여부를 판단할 후보로 표시했다. 그다음 한 단계만 시범으로 보였다. 8²+15²=64+225=289=17²이므로 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱 합과 같다. 따라서 이 삼각형은 직각삼각형이다. 여기서 멈춘 뒤 교사는 “직각은 어느 변 위에 적는가?”가 아니라 “17cm 변의 어느 위치에 있는가?”라고 다시 물었다.

학생은 17cm 변을 빗변으로 표시하고, 그 변의 양 끝점이 아닌 맞은편 꼭짓점에 직각 표시를 해야 한다고 고쳐 말했다. 이어 직접 다음과 같이 다시 썼다. 가장 긴 변 17을 후보로 정한다. 8²+15²=64+225=289=17²이므로 직각삼각형이며, 17cm 변의 맞은편 각이 직각이다. 처음 풀이에서는 17이라는 숫자를 찾았지만 변 자체를 각으로 바꾸었고, 수정 풀이에서는 가장 긴 변을 기준으로 직각의 위치까지 연결했다.

삼각형의 존재와 직각 여부를 따로 검산하기

계산 결과를 같은 식으로 반복하지 않기 위해 두 가지를 나누어 확인했다. 먼저 세 변이 실제 삼각형을 이루는지 8+15>17로 대조했다. 세 변의 합 조건을 만족하므로 주어진 도형은 만들어질 수 있다. 그다음 가장 긴 변 17의 제곱이 나머지 두 변의 제곱 합과 같은지 확인했으므로 직각삼각형이라는 결론을 유지한다. 이때 “17cm 변의 맞은편 각이 직각”이라는 문장이 계산 결과와 도형 관계에 모두 맞는지 학생이 손가락으로 꼭짓점을 짚어 설명하게 했다.

교사는 대표 문제의 문제와 조건은 그대로 두고, 학생의 오답과 수정 풀이, 정답을 가린 뒤 다시 제시할 수 있다. 학생이 17cm를 가장 긴 변으로 고르는 것뿐 아니라, 그 변의 맞은편 꼭짓점에 직각이 놓인다고 말하는지 확인한다. 필요한 경우 “직각은 17cm 변의 맞은편 꼭짓점에 있다”라는 한 관계만 되짚고, 다음 줄의 계산과 설명은 학생이 직접 결정하게 한다.

8·15·16 삼각형에서 바뀐 조건 적용하기

이제 세 변이 8cm, 15cm, 16cm인 삼각형을 제시한다. 먼저 삼각형의 존재 여부와 직각 여부를 섞지 않도록, 학생은 8+15>16을 확인해 삼각형이 만들어진다는 점을 적는다. 그러나 직각 판단에서는 가장 긴 변 16을 후보로 삼아 8²+15²=64+225=289, 16²=256을 비교한다. 두 값이 같지 않으므로 이 삼각형은 직각삼각형이 아니다. 삼각형은 성립하지만 피타고라스 정리의 제곱 관계를 만족하지 않는다는 점이 대표 문제와 달라진 조건이다.

다음 수업에서는 도움 없이 이 8cm, 15cm, 16cm 문제를 다시 풀게 하고, 학생이 먼저 가장 긴 변을 표시한 뒤 삼각형 성립 조건과 제곱 관계를 순서대로 적는지 확인한다. 마지막으로 “삼각형은 존재하지만 직각은 아니다”라고 두 결론을 구분해 말하고, 직각의 위치를 묻는 질문에 해당하는 꼭짓점이 없음을 근거로 설명하는지 관찰한다.