서부신시가지 중등수학과외

“제곱근을 취한 값의 이름은 무엇일까요?” 교사는 자료 4, 4, 4를 먼저 보여 주며 질문했습니다. 학생은 “분산과 표준편차는 거의 같은 계산에서 나오는 값”이라고 답했지만, 두 이름과 계산 단계를 구분해 말하지는 못했습니다. 이번 수업에서는 서부신시가지중등수학과외 수업에서 학생이 계산 결과만 고르는 것이 아니라, 분산을 구한 뒤 표준편차와 어떤 관계가 있는지 자신의 식으로 설명하도록 관찰합니다.

자료 4, 4, 4에서 분산 0을 확인하는 장면

교사는 같은 값으로 이루어진 자료 4, 4, 4의 평균을 먼저 구해 보게 했습니다. 학생은 평균을 (4+4+4)÷3=4로 정확히 계산했습니다. 이어 각 자료에서 평균을 뺀 편차를 적으니 0, 0, 0이 되었고, 편차 제곱도 모두 0이었습니다. 따라서 편차 제곱의 평균은 (0+0+0)÷3=0입니다.

이 새 조건은 자료의 값이 모두 같다는 점에서 앞의 자료와 다릅니다. 그러나 평균을 구하고, 평균과 각 자료의 차이를 제곱한 뒤 그 평균을 구한다는 원리는 그대로입니다. 교사는 “모든 값이 평균과 같으면 편차는 어떻게 되나요?”라고 물었고, 학생은 “모두 0이라서 분산도 0”이라고 식과 함께 설명했습니다. 이 장면에서 분산이 0이 되는 조건을 먼저 확인한 뒤, 서로 다른 값이 포함된 문제로 이동했습니다.

자료 2, 4, 6에서 처음 달라진 판단

자료 2, 4, 6의 평균과 분산을 구하는 문항을 제시하자 학생은 평균을 먼저 계산해 (2+4+6)÷3=4라고 적었습니다. 평균을 구한 부분은 맞았습니다. 학생은 각 편차를 −2, 0, 2로 구했고, 제곱값 4, 0, 4도 적었습니다. 여기까지의 계산을 보면 자료와 평균의 차이를 찾는 절차는 진행되었습니다.

하지만 제곱값의 합 8을 자료의 개수 3으로 나눈 8/3 뒤에 제곱근 기호를 붙여 분산=√(8/3)이라고 작성했습니다. 교사는 곧바로 원인을 확정하지 않고 “제곱근을 취한 값의 이름은 무엇인가요?”라고 물었습니다. 학생이 “표준편차”라고 말한다면, 말로 구분한 내용과 실제 답안의 이름이 어긋난 지점을 확인할 수 있습니다. 반대로 이름을 분명히 말하지 못한다면, 계산 단계 자체를 다시 나누어 확인합니다.

분산과 표준편차의 계산 단계를 따로 쓰기

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고, 학생이 이미 구한 편차 제곱 4, 0, 4를 가리키며 “지금 구한 값은 무엇의 평균인가요?”라고 물었습니다. 학생이 편차 제곱의 평균이라고 답한 뒤에만 교사는 분산의 양의 제곱근이 표준편차다라는 관계를 짧게 제시했습니다. 이 설명은 분산과 표준편차의 이름을 구분하는 데 필요한 범위로 제한하고, 뒤의 식은 학생이 직접 완성하게 했습니다.

학생은 오답의 제곱근을 지우고 다음과 같이 다시 썼습니다. 평균은 4, 편차는 −2, 0, 2, 편차의 제곱은 4, 0, 4이다. 따라서 제곱값의 합은 4+0+4=8이고, 분산은 8÷3=8/3이다. 제곱근을 취한 값은 분산이 아니라 표준편차에 해당하므로, 이번 답에서는 분산과 표준편차의 계산 단계와 이름을 나누었습니다.

다른 표현으로 검산하고 다음 행동 확인하기

같은 나눗셈을 반복하지 않기 위해 평균과 원자료의 제곱을 이용해 확인했습니다. 원자료 제곱의 평균은 (2²+4²+6²)÷3=(4+16+36)÷3=56/3이고, 평균의 제곱은 4²=16입니다. 따라서 제곱값 평균에서 평균²을 빼면 56/3−16=56/3−48/3=8/3이 됩니다. 또한 편차의 합은 −2+0+2=0이고, 제곱값의 평균 8/3은 0 이상이므로 분산의 조건에도 맞습니다.

다음에는 풀이 부분을 가린 채 자료 2, 4, 6의 문제를 다시 제시합니다. 학생은 평균, 편차, 편차 제곱의 평균을 차례로 직접 적고, 마지막에 그 값이 분산인지 표준편차인지 이름을 붙여야 합니다. 이어 자료 4, 4, 4에서는 모든 편차가 0이라는 근거를 혼자 설명하게 합니다. 교사는 정답만 확인하지 않고, 학생이 분산과 표준편차의 계산 단계와 이름을 나누어 말한 뒤 적절한 검산까지 남기는지를 기록합니다.