부전동 중등수학과외

“x>−3”이라는 답에서 시작한 확인

학생은 일차부등식 −3x+2>11을 보고 “−3x>9이므로 x>−3”이라고 적었다. 먼저 양변에서 2를 빼서 −3x>9까지 만든 과정은 조건에 맞았다. 달라진 판단은 그다음, 음수인 −3으로 나누면서도 부등호 방향을 그대로 둔 부분이었다. 부전동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 알려 주지 않고, 학생이 쓴 식과 원래 조건을 나란히 놓은 뒤 짧게 물었다. “−4와 −2를 원식에 넣어 어느 값이 참인지 비교해 볼까?”

학생은 먼저 x=−4를 대입해 −3×(−4)+2=14이므로 14>11이 참이라고 계산했다. 이어 x=−2를 넣어 −3×(−2)+2=8이므로 8>11은 참이 아니라고 확인했다. 그런데 학생의 답 x>−3이라면 −2가 해에 들어가고 −4는 들어가지 않아 원식에서 확인한 결과와 맞지 않는다. 이 한 번의 오답만으로 학생이 부등식의 성질을 전혀 모른다고 단정하지 않고, 질문에 답한 내용과 실제 계산 줄을 함께 살폈다. 학생은 두 값을 대입해 어느 쪽이 맞는지는 구분했지만, 그 결과를 해의 부등호 방향으로 옮기는 단계에서 멈췄다.

음수로 나누는 한 줄만 고쳐 쓰기

교사는 풀이 전체를 다시 설명하는 대신 학생이 멈춘 줄에 표시를 남겼다. “−3배하면 수의 대소가 뒤집히지? 그러면 나눌 때는 어떻게 써야 할까?” 설명은 −3배하면 수의 대소가 뒤집히므로 나눌 때도 방향을 바꾼다는 한 단계로 제한했다. 그다음 줄은 학생이 직접 완성하도록 했다. 학생은 “−3x>9. 양변을 −3으로 나누면 x<−3”이라고 다시 적었다. 처음 풀이와 비교하면 −3x>9까지 만든 과정은 그대로이고, 음수로 나누는 줄에서 부등호를 반대로 쓴 점만 달라졌다.

수정한 해가 원식과 맞는지는 같은 계산을 반복하지 않고 두 값을 대조해 확인했다. x=−4는 원식에서 14>11이므로 해에 포함되고, x=−2는 8>11이 아니므로 포함되지 않는다. 또 경계값 x=−3을 넣으면 −3×(−3)+2=11이 되어 엄격한 부등식 11>11은 성립하지 않는다. 따라서 경계는 제외되고, 대입 결과와 경계 확인은 학생이 적은 x<−3과 일치한다.

같은 음수 나눗셈, 달라진 경계 조건

이제 조건을 바꿔 −3x+2≥11의 해를 구하고 x=−3이 포함되는지 판단하게 했다. 학생은 먼저 2를 빼서 −3x≥9를 만들고, 음수 −3으로 나누는 순간 부등호를 반대로 바꾸어 x≤−3이라고 적었다. 여기서 유지되는 원리는 음수로 나눌 때 방향을 반전하는 것이고, 달라진 조건은 >가 ≥로 바뀌었다는 점이다. 그래서 이번에는 경계값을 제외하지 않는다. x=−3을 대입하면 좌변이 11이 되어 11≥11을 만족하므로 해에 포함된다고 설명했다.

다음 확인에서는 대표 문제와 바뀐 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 −3x≥9에서 −3으로 나누는 줄의 부등호를 스스로 반대로 쓰는지, 그리고 “음수로 나누면 대소가 뒤집힌다”는 이유까지 도움 없이 말하는지를 본다. 막히면 그 설명까지만 다시 제시하고 다음 계산은 직접 이어 쓰게 한다. 이후 같은 계산을 반복하는 대신 x=−4, x=−2, 경계값 −3을 각각 대입해 포함 여부를 설명하는지 확인한다.