개금동 중등수학과외

계수의 부호를 먼저 따로 계산해 볼까요?

수업은 바깥 지수가 홀수로 바뀐 문제에서 시작한다. 교사는 학생에게 (−2ab²)³을 간단히 하라고 제시한 뒤, 바로 전개하지 않고 “계수의 부호를 먼저 따로 계산하면 어떻게 될까?”라고 묻는다. 학생은 괄호 안의 모든 인수에 3제곱을 해야 한다는 점은 떠올렸지만, 계수와 문자를 어떤 순서로 나눠 계산할지는 잠시 멈춰 생각한다. 교사는 “음수인 계수를 세 번 곱하면 부호가 어떻게 되지?”라고 짧게 확인한다.

학생이 음수 두 개를 곱하면 양수가 된다고 말하자, 교사는 홀수 개의 음수 인수가 남을 때는 음수라는 점을 덧붙이지 않고, 먼저 계수 부분만 따로 적어 보게 한다. 학생은 (−2)³=−8을 계산하고, 이어서 a³(b²)³=a³b⁶으로 정리한다. 따라서 적용 문제의 결과는 −8a³b⁶이다. 같은 괄호를 세 번 곱하면 음수 계수 세 개가 곱해지므로 계수가 음수라는 설명도 학생이 직접 붙인다.

짝수 제곱에서 처음 달라진 판단 찾기

그다음 교사는 바깥 지수가 짝수인 비교 문제를 제시한다. (−2a³b)²을 간단히 하라는 문제에서 학생은 처음에 (−2a³b)²=−4a⁶b²이라고 썼다. 그러나 이 오답만 보고 곧바로 원인을 단정하지 않는다. a의 지수를 두 배로 만든 것과 b의 지수를 두 배로 만든 것은 조건에 맞으므로, 문자를 거듭제곱하는 규칙은 사용하고 있음을 먼저 인정한다.

교사는 학생이 말로 설명한 기준과 종이에 적은 계산을 나란히 대조한다. “음수 두 개를 곱하면 부호가 어떻게 되지?”라고 묻자 학생은 양수라고 답한다. 그런데 답안에는 계수가 −4로 남아 있다. 말로는 알고 있는 기준이 식으로 옮겨지는 과정에서 달라졌는지 확인하기 위해, 교사는 전체 풀이를 대신 고쳐 주지 않고 계수 부분만 손가락으로 가리킨다. “계수만 따로 계산해 보자. (−2)와 (−2)를 곱하면?”이라는 한 단계의 도움을 제공한다.

학생은 계수의 부호를 별도로 계산한 뒤 식을 다시 쓴다. (−2a³b)²=(−2)²(a³)²b²=4a⁶b²이다. 처음 풀이와 비교하면 a와 b의 지수 처리는 그대로지만, 계수의 부호가 −4에서 4로 바뀌었다. 학생은 “제곱은 같은 인수를 두 번 곱하는 것이므로 계수는 (−2)×(−2)=4”라고 말하며 수정한 이유를 설명한다. 이때 교사는 음수 계수의 제곱에서는 부호가 사라진다는 문장만 외우게 하지 않고, 실제 곱셈으로 근거를 남기게 한다.

지수법칙과 직접 곱셈을 서로 대조하기

수정한 답이 맞는지는 같은 계산을 반복하는 방식으로만 확인하지 않는다. 원래 조건을 두 인수의 곱으로 풀어 쓰면 (−2a³b)(−2a³b)가 된다. 계수는 (−2)×(−2)=4이고, a는 a³이 두 개이므로 a⁶, b는 b가 두 개이므로 b²이다. 따라서 직접 곱한 결과도 4a⁶b²로 일치한다. 제곱한 식에서 음수 부호를 유지하지 않는 이유와 각 문자의 지수가 두 배가 되는 이유가 각각 확인된다.

처음 출발한 홀수 지수 문제와 비교하면, 모든 인수를 각각 거듭제곱한다는 원리는 같다. 달라지는 것은 음수 계수의 개수다. 짝수 지수에서는 음수 계수가 두 개라 양수가 되고, 홀수 지수에서는 음수 계수가 세 개라 음수가 된다. 다음 문제에서는 도움을 줄인 상태에서 학생이 풀이 첫 줄에 계수의 부호를 별도로 계산하게 한다. 이어 (−2ab²)³=−8a³b⁶을 직접 쓰고, 같은 괄호를 세 번 곱했을 때 음수 인수가 세 개라는 조건과 자신의 부호 판단이 맞는지 설명하는지를 확인한다.