옥련동 중등수학과외

수업은 점수 1, 2, 3점의 도수가 각각 2명, k명, 2명이고 k는 0 이상의 정수일 때 평균을 구하는 문제로 시작했다. 가운데 점수의 도수가 정해지지 않았으므로 학생은 잠시 식을 세우다가 “점수의 종류가 세 가지이니 분모는 3”이라고 생각할 수 있다. 교사는 이 새 조건을 바로 끝까지 대신 풀지 않고, 옥련동중등수학과외 수업에서 먼저 “전체 사람 수가 3명인가, 아니면 도수를 합한 수인가?”라고 물으며 학생이 분모의 의미를 말하게 했다.

1점·2점·3점과 미지의 도수에서 먼저 남긴 질문

학생은 1점, 2점, 3점이라는 서로 다른 점수의 종류와 실제 자료의 개수를 구분해야 했다. 이 문제에서는 1점이 2명, 2점이 k명, 3점이 2명이므로 전체 인원은 2+k+2=k+4명이다. 점수와 도수를 곱한 총점은 1×2+2×k+3×2=2k+8점이다. 따라서 평균은 (2k+8)/(k+4)=2점이다. 식을 약분하면 분자와 분모가 각각 2(k+4)로 정리된다. 또 1점과 3점을 두 명씩 짝지으면 각 쌍의 평균이 2이고, 가운데에서 추가되는 모든 자료는 2점이므로 k가 어떤 0 이상의 정수여도 평균이 2점이라는 점을 확인할 수 있다.

도수표의 평균에서 3과 6을 구별하기

교사는 학생이 방금 문제에서 분모를 잘못 정했는지 계산을 못 한 것인지 구분하기 위해 조건을 간단히 바꾸어 제시했다. 점수 1, 2, 3점의 도수가 각각 2명, 3명, 1명일 때 학생의 처음 답안은 평균=11/3점이었다. 총점 11을 계산한 것은 맞았지만, 분모를 계급 개수인 3으로 사용한 것이 처음 달라진 판단이다. 교사는 “전체 사람 수가 3명인가, 6명인가?”라고 다시 물었다. 학생이 말로는 6명이라고 하면서 식에는 3을 썼다면, 개념 판단과 옮겨 적은 계산을 나누어 확인할 수 있다. 반대로 말로도 3명이라고 한다면 평균의 분모를 자료 수로 보는 기준을 먼저 점검한다.

설명은 한 단계로 제한한다. 평균의 분모는 서로 다른 점수 종류의 수가 아니라 자료 수라는 관계만 표시하고, 도수의 합을 분모로 쓰는 다음 단계는 학생이 직접 결정하게 한다. 학생은 원래 답안의 11을 그대로 사용하지 않고 자료 수부터 다시 적었다. 총점=1×2+2×3+3×1=11점, 인원=2+3+1=6명이라고 쓴 뒤, 평균=11/6점으로 고쳤다. 처음 풀이와 달라진 부분은 총점을 구하는 방식이 아니라 평균의 분모를 계급 개수 3에서 도수의 합 6으로 바꾼 것이다.

자료를 펼쳐 보는 검산과 새 조건으로의 복귀

수정한 답은 같은 나눗셈을 반복하지 않고 자료 자체와 대조한다. 도수표를 자료로 펼치면 1, 1, 2, 2, 2, 3이 되고, 이 여섯 자료의 합은 11이다. 따라서 합 11을 자료의 개수 6으로 나누어 11/6점이 되는지 확인한다. 이 검산은 점수 종류가 세 가지라는 사실과 실제 자료가 여섯 개라는 사실을 분리해 보여 준다.

이제 처음 제시한 새 문제로 돌아오면 가운데 점수의 도수가 k명이라는 조건만 달라졌고, 점수×도수의 합을 전체 도수의 합으로 나누는 원리는 그대로다. 학생은 총점 2k+8, 인원 k+4를 각각 표시한 뒤 평균 (2k+8)/(k+4)=2점을 완성한다. 다음 수업에서는 같은 대표 문제의 자료를 다시 제시하되 기존 풀이와 정답은 가리고, 학생이 풀이 첫 줄에 도수의 합을 분모로 쓰는지 관찰한다. 이어 계산 결과가 조건과 맞는 이유를 말하게 하고, 막히면 “평균의 분모는 점수 종류가 아니라 자료 수”라는 관계만 확인한 뒤 나머지 식과 검산 근거는 스스로 남기게 한다.