동춘동 중등수학과외

“72+9=81”이라는 답안에서 먼저 확인한 관계

중1 소인수분해 수업에서 교사는 학생이 적은 답안과 문제의 조건을 나란히 놓았다. 문제는 “72에 자연수 n을 곱해 완전제곱수를 만들려고 한다. 가장 작은 n과 그때의 제곱수를 구하라”는 내용이었다. 학생은 72+9=81이므로 n=9라고 썼다. 81이 완전제곱수라는 점은 확인했지만, 문제에서 요구한 연산이 덧셈인지 곱셈인지가 아직 드러나지 않았다.

교사는 바로 풀이를 고쳐 주지 않고 짧게 물었다. “문제의 관계는 72+n과 72n 중 어느 쪽인가?” 학생이 72+n을 고른다면 소인수분해 계산에 들어가기 전에 조건을 다시 읽어야 한다. 반대로 72n을 고르면서도 n=9라고 답한다면, 관계를 읽은 뒤 계산하는 과정에서 다른 판단이 있었는지 한 줄씩 확인할 수 있다. 이 질문은 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 문제의 기호를 실제 풀이에 어떻게 반영했는지 구분하기 위한 것이다.

72=2³×3²에서 바뀌어야 할 한 지점

학생이 “72+n을 계산했다”고 말하자 교사는 72와 81 사이의 수를 찾는 방식과 문제의 관계를 다시 대조했다. 동춘동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식을 지우고 새 풀이를 대신 받아 적게 하지 않는다. 교사는 “조건은 72×n이야. 제곱수까지의 차를 구하는 문제가 아니야”라고 한 단계만 설명한 뒤, 72를 소인수분해한 줄을 직접 써 보였다.

72=2³×3²에서 3의 지수는 이미 짝수지만 2의 지수는 홀수이다. 완전제곱수가 되려면 각 소인수의 지수가 짝수여야 하므로 2를 한 번 더 곱하면 된다. 교사는 여기까지를 시범으로 보이고, 학생에게 “덧셈식 대신 어떤 소인수의 지수를 비교해야 하지?”라고 물었다. 학생은 3의 지수는 그대로 두고 2의 지수만 3에서 4로 만든다고 말한 뒤, 이어지는 식을 스스로 적었다.

학생이 직접 고친 곱셈 풀이와 두 방식의 검산

학생의 수정 풀이는 다음과 같았다. 72=2³×3²이고, 2를 한 번 더 곱하면 2⁴×3²=144=12²이다. 따라서 n=2, 그때의 제곱수는 144라고 정리했다. 처음에는 72와 9를 더해 81을 만들었지만, 수정할 때에는 72에 곱해지는 수를 찾고 소인수의 지수를 짝수로 맞췄다. 달라진 부분은 단순한 계산 실수가 아니라 문제의 관계를 덧셈에서 곱셈으로 바꾼 것이다.

검산은 소인수분해를 그대로 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 학생은 먼저 72×2=144를 계산하고, 144가 12×12와 같다는 사실을 확인했다. 이어 n=1일 때에는 72가 완전제곱수인지 살폈다. 64<72<81이므로 72는 인접한 제곱수 사이에 있고 완전제곱수가 아니다. 따라서 n=1보다 작은 자연수 조건은 없고, n=2가 가장 작다는 결론을 말로 설명했다.

곱하는 조건에서 나누는 조건으로 바꾼 적용

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. “72를 자연수 n으로 나눈 몫이 자연수이면서 완전제곱수가 되게 하려 한다. 가장 작은 n을 구하라.” 이번에는 소인수의 지수를 늘리는 것이 아니라 줄여야 한다. 또한 몫이 자연수여야 하므로 n이 72의 약수인지 함께 확인해야 한다. 학생은 대표 문제에서 사용한 72=2³×3²를 다시 보고, 2를 한 번 나누면 72÷2=2²×3²=36=6²이 된다고 적었다. n=1이면 몫이 72라서 완전제곱수가 아니므로 새 문제의 가장 작은 값도 n=2이다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 다시 제시하고 오답과 수정 풀이를 가린다. 학생이 먼저 덧셈식이 아니라 곱의 소인수를 비교하는 기준을 스스로 고른 뒤, 바뀐 문제에서는 나눗셈으로 지수를 줄이고 몫의 자연수 조건까지 표시하는지 확인한다. 교사는 정답만 보지 않고, 72×2=144와 72÷2=36에서 각 조건에 맞는 연산을 선택한 근거를 학생의 식과 설명으로 확인한다.