청학동 중등수학과외

중2 경우의 수와 확률 수업에서 교사는 공정한 동전 한 개와 1부터 6까지가 같은 확률로 나오는 주사위 한 개를 서로 독립적으로 던지는 문제를 제시했다. 질문은 “동전은 앞면이고 주사위는 짝수일 확률은?”이다. 학생은 곧바로 “짝수는 세 개이므로 3/6=1/2.”라고 적었다. 청학동중등수학과외 수업에서는 이 답을 바로 틀렸다고 말하기보다, 학생의 식이 문제의 두 조건을 모두 반영했는지 먼저 확인한다.

“3/6”에 동전 조건이 들어갔는가

학생이 맞게 처리한 부분은 주사위에서 짝수가 2, 4, 6 세 개라는 사실이다. 따라서 주사위 조건만 따로 보면 3/6=1/2가 맞다. 그러나 문제에는 주사위 조건뿐 아니라 동전이 앞면이라는 조건도 함께 있다. 교사는 짧게 묻는다. “뒤면과 짝수인 결과도 성공인가?” 학생이 “앞면이어야 하니 뒤면은 안 된다”고 답하는지, 아니면 여전히 3/6을 성공 확률이라고 말하는지를 구분해 듣는다.

학생이 뒤면과 짝수인 결과를 성공으로 포함한다면, 먼저 성공 기준을 고르는 단계에서 막힌 것이다. 반대로 앞면 조건을 말로는 정확히 고르면서도 3/6을 적었다면, 개념 전체를 다시 설명하기보다 결과를 세는 과정을 한 줄씩 확인한다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 학생이 조건을 선택하지 못한 것인지 조건은 선택했지만 표본 공간을 줄여 적은 것인지 나누어 본다.

두 시행의 결과를 펼쳐 조건을 동시에 적용하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고, 가능한 결과의 수만 먼저 대조한다. 동전 결과는 앞면과 뒤면 두 가지이고 주사위 결과는 1부터 6까지 여섯 가지이므로 전체 결과는 2×6=12개이다. 그중 동전이 앞면이면서 주사위가 짝수인 결과는 (앞,2), (앞,4), (앞,6) 세 개다. 따라서 성공 확률은 3/12=1/4이다.

설명을 들은 뒤에는 학생이 직접 동전 조건과 주사위 조건을 모두 적용하게 한다. 학생은 처음의 “짝수는 세 개”라는 문장을 지우고, “전체 결과 2×6=12개”를 적은 다음 성공 결과 세 개를 괄호로 표시한다. 이어서 3/12=1/4라고 쓴다. 처음 풀이가 주사위의 짝수만 세었다면, 수정 풀이에서는 앞면이라는 동전 조건을 각 결과에 함께 붙였다는 점이 달라졌다.

곱셈으로 확인하고 ‘또는’ 조건으로 바꾸기

같은 계산을 다시 세는 대신 독립 시행의 곱으로 검산한다. 앞면일 확률은 1/2이고 주사위가 짝수일 확률은 3/6이므로, 두 조건을 동시에 만족할 확률은 (1/2)×(3/6)=1/4이다. 결과를 12개로 나눈 풀이와 확률을 곱한 풀이가 같은 값을 내므로, 학생은 두 시행의 조건을 모두 반영했는지 확인할 수 있다.

이제 조건을 바꾼다. 공정한 동전과 공정한 주사위를 독립적으로 던질 때, “앞면이거나 주사위가 짝수”일 확률을 구한다. 여기서는 ‘그리고’가 아니라 ‘또는’이므로 앞면인 결과 여섯 개와 짝수인 결과 여섯 개를 합친다. 앞면이면서 짝수인 세 결과가 두 번 세어졌으므로 한 번 빼서 성공 결과는 6+6−3=9개, 확률은 9/12=3/4이다. 실패 결과를 보면 뒤면이면서 홀수인 경우 세 개뿐이므로 1−3/12=3/4로도 확인된다.

다음 확인에서는 대표 문제의 조건을 그대로 다시 제시하되 오답과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 동전 조건과 주사위 조건을 먼저 표시하고, 앞면인 경우 중 짝수만 골라 3/12를 스스로 적는지 본다. 이어 ‘앞면이거나 짝수’ 문제에서는 겹친 세 결과를 한 번만 세는지 확인한다. 필요한 경우 교사는 “앞면 조건을 만족하는 결과에서만 짝수를 골라 보자”라고 한 관계만 되짚고, 다음 식과 근거는 학생이 직접 남기게 한다.