옥련동 고등수학과외

제곱과 근호를 지웠을 때 생기는 차이

제곱근과 절댓값의 검산 결과가 처음 식과 어긋나는 지점부터 살펴본다. 실수 x≤1일 때 √((x−1)²)을 간단히 하라는 문제에서, 이렇게 답했다면 “제곱과 근호가 서로 지워지므로 x−1”이라고 생각한 것이다. 그러나 x=0을 대입하면 원식은 √1=1인데 x−1은 −1이 된다. 제곱한 결과만 같다는 이유로 원래 값을 같다고 할 수는 없다. 제곱근 기호의 값은 음수가 될 수 없으므로, 먼저 결과가 비음수인지 확인해야 한다. 이때 오답 하나만으로 개념을 단정하지 않고 두 가지를 나누어 확인한다. 절댓값을 수직선에서의 거리로 이해하지 못한 것인지, 아니면 안쪽 식 x−1의 부호 경계를 잘못 잡은 것인지 질문한다. “제곱근 기호의 값이 음수가 될 수 있는가?”에 답하게 한 뒤, x=1과 x=0에서 원식과 답을 각각 계산해 부호와 값을 직접 표시하게 한다.

조건 x≤1이 바꾸는 절댓값의 표현

절댓값은 수직선에서 0으로부터의 거리이므로 항상 0 이상이다. 일반적으로 √(u²)=|u|이며, 이는 u가 양수인지 음수인지에 따라 표현이 달라진다. 여기서는 u=x−1이고 주어진 조건이 x≤1이므로 x−1≤0이다. 따라서 안쪽 식 전체의 부호를 바꾸어 |x−1|=−(x−1)=1−x로 나타낸다. 학생이 직접 수정하는 단계는 “√((x−1)²)=|x−1|=1−x”이다. x=1에서는 원식과 결과가 모두 0이어서 경계가 포함되는지 확인할 수 있다. 또 1−x는 x≤1에서 비음수이고, 이를 제곱하면 (1−x)²=(x−1)²이므로 원래 제곱근의 값과 일치한다. 비교 자료를 볼 때도 계산 결과, 부호, 주어진 조건의 성립 여부를 따로 적게 한다. 제곱해서 같다는 사실은 필요한 확인이지만, 제곱근의 비음수 조건까지 충족해야 최종 답이 된다.

표현을 바꾼 조건에서 다시 확인하기

수정한 풀이가 같은 문장에만 맞는지 확인하려면 풀이와 정답을 가린 상태에서 “실수 x<2일 때 |x−2|를 절댓값 없이 나타내라”를 다시 시작한다. 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 보이지 않게 한 뒤, 먼저 x−2의 부호를 직접 판단하게 한다. x<2이면 x−2<0이므로 |x−2|=−(x−2)=2−x이다. 2−x>0이고 제곱하면 (x−2)²과 같으며, x=1을 넣으면 원식과 결과가 모두 1이다. 이는 앞 문제의 숫자만 바꾼 것이 아니라 조건에 따라 안쪽 식의 부호를 확인하는 방법을 다시 적용한 것이다. 이후 수정 전후의 단계를 섞어 제시하고 제곱근을 절댓값으로 읽는 단계, 조건으로 부호를 정하는 단계, 부호를 바꾸어 정리하는 단계를 순서대로 복원하게 한다. 다른 조건의 문제에서는 왜 같은 방향을 선택했는지도 말하게 한다. 한 방향만 남는다고 느끼면 해당 중심의 양쪽에 같은 거리를 직접 표시해 거리의 뜻과 식의 부호가 일치하는지 점검한다. 이런 확인을 거치면 배움노트 고등수학 수업에서 다루는 절댓값 방정식·부등식에서도 계산보다 먼저 정의와 조건을 확인하는 풀이 습관으로 이어질 수 있다.