주월동 중등수학과외

주월동중등수학과외 수업에서 교사는 자료 2, 3, 3, 4, 18과 학생이 적은 답안 “중앙값이 3으로 같으므로 변경 후 평균도 6이다”를 나란히 놓았습니다. 문제는 이 자료의 평균·중앙값·최빈값을 구한 뒤, 가장 큰 값 18을 100으로 바꾸었을 때 중앙값이 변하는지 판단하는 것입니다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “변경 전후 자료의 합이 각각 30과 112가 맞을까?”라고 물으며, 학생의 판단이 문제 조건과 맞는지 확인하게 했습니다.

2, 3, 3, 4, 18에서 먼저 확인한 세 가지 대푯값

학생은 자료가 이미 작은 수부터 정렬되어 있다는 점을 정확히 읽었습니다. 가운데에 있는 세 번째 값이 3이므로 중앙값을 3이라고 쓴 부분은 맞았습니다. 또 3이 두 번 나타나고 다른 값은 한 번씩만 나타나므로 최빈값도 3이라고 판단했습니다. 평균을 구할 때에는 다섯 자료를 모두 더해야 하므로, 합은 2+3+3+4+18=30, 평균은 30÷5=6입니다.

교사는 학생의 첫 풀이에서 맞게 처리한 부분과 처음 달라진 판단을 구분했습니다. 학생은 변경 후에도 가운데 값이 3이라는 점을 근거로 중앙값은 변하지 않는다고 보았지만, 그 판단을 평균에 그대로 옮겨 “평균도 6”이라고 썼습니다. 여기서 오답 하나만으로 특정 개념을 모른다고 단정하지 않고, 학생이 중앙값과 평균의 차이를 말로 구분하는지 확인했습니다.

18을 100으로 바꿀 때 합과 가운데 값은 어떻게 달라질까

교사는 계산 전체를 대신하지 않고 변경 전후의 합만 표시했습니다. 원자료의 평균에 자료 수를 곱하면 6×5=30이고, 변경 후 자료는 2, 3, 3, 4, 100이므로 합은 2+3+3+4+100=112입니다. 따라서 변경 후 평균은 112÷5=22.4입니다. 교사는 “평균은 어떤 값을 모두 사용하지?”라고 짧게 묻고, “평균은 모든 값을 사용하므로 큰 값의 변화가 합에 반영된다”는 설명까지만 제공했습니다.

그 뒤 학생은 중앙값과 평균을 따로 설명하며 식을 다시 적었습니다. “자료가 2, 3, 3, 4, 100으로 정렬되어도 가운데 값은 3이므로 중앙값은 3이다. 그러나 100을 포함한 합은 112이므로 평균은 22.4이다.” 이어서 3이 두 번 나타나는 사실을 확인해 최빈값은 여전히 3이라고 썼습니다. 처음 풀이에서는 중앙값이 같다는 한 가지 관찰로 평균까지 같다고 결론 내렸지만, 수정 풀이에서는 자료 전체를 쓰는 평균과 가운데 위치를 보는 중앙값의 판단 근거를 분리했습니다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산과 조건 제거 문제

수정한 답은 원자료의 평균에 자료 수를 곱해 6×5=30이 되는지 확인하고, 변경 후 평균에 자료 수를 곱해 22.4×5=112가 되는지도 대조합니다. 이 검산은 단순히 같은 덧셈을 반복하는 것이 아니라, 평균이 합과 자료 수의 관계로 정의된다는 점을 이용합니다. 또한 두 자료에서 세 번째 값이 모두 3인지 살펴보면 중앙값이 3으로 유지된 이유도 확인할 수 있습니다.

이제 조건을 바꾸어 큰 값을 다른 큰 값으로 바꾸지 않고 자료에서 제거합니다. 2, 3, 3, 4, 18에서 가장 큰 18을 없애면 남은 자료는 2, 3, 3, 4입니다. 합은 2+3+3+4=12, 자료 수는 4개이므로 평균은 12÷4=3입니다. 중앙값은 가운데 두 값 3과 3의 평균이어서 (3+3)÷2=3이고, 최빈값도 두 번 나온 3입니다. 이 문제에서는 자료 수가 5개에서 4개로 줄어 평균의 분모와 중앙값을 정하는 위치가 함께 바뀐다는 점이 다릅니다.

다음 수업에서는 풀이를 가린 원래 문제와, 18을 제거한 문제를 차례로 제시합니다. 학생은 도움 없이 큰 값을 바꾼 경우와 제거한 경우를 구분하고, 평균은 전체 합과 자료 수로, 중앙값은 정렬된 위치로 판단한 근거를 각각 말한 뒤 식을 적어야 합니다. 교사는 학생이 “중앙값의 안정성과 평균의 변화를 별도로 설명”하는지, 그리고 원자료 평균×5=30과 변경 후 평균×5=112라는 검산을 스스로 사용해 조건을 확인하는지 기록합니다.