봉선동 중등수학과외

“√12+√27=√39”라는 답안에서 시작한 확인

중3 근호를 포함한 식의 계산 시간, 학생은 √12+√27=√39라고 적었다. 봉선동중등수학과외 수업에서는 정답만 바로 고치지 않고, 학생이 어느 순간에 판단을 바꾸었는지 먼저 확인한다. √12와 √27을 각각 계산하려고 한 점은 보이지 않고, 두 수를 근호 안에서 곧바로 더한 흔적이 식에 남아 있다. 교사는 “√1+√4와 √5가 같은가?”라고 짧게 묻고, 학생에게 두 식의 값을 직접 비교하게 한다. 학생은 √1+√4=1+2=3이고 √5는 3이 아니므로 두 식이 같지 않다고 답한다. 이 대답만으로 규칙을 완전히 알고 있다고 단정하지 않고, 말로 비교한 결과와 실제 계산 줄을 함께 살핀다.

학생이 질문에는 올바르게 답했지만 원래 식에서는 근호 안 수를 더했으므로, 교사는 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않는다. “근호가 있는 두 항을 더할 때, 12와 27을 먼저 합쳐도 될까?”라고 다시 묻는다. 학생은 잠시 식을 바라본 뒤, 근호 안의 수를 합치는 방식이 앞의 비교와 맞지 않는다는 점을 말한다. 이때 교사는 전체 풀이를 대신 쓰지 않고, 오답 옆에 덧셈은 근호 안으로 합칠 수 없다라는 문장과 수정의 출발점인 √12=2√3, √27=3√3만 제시한다.

√12와 √27에서 제곱 인수를 따로 찾기

이제 학생이 직접 각 항의 제곱 인수를 찾는다. 12는 4×3으로 나눌 수 있으므로 √12=√(4×3)=2√3이고, 27은 9×3으로 나눌 수 있으므로 √27=√(9×3)=3√3이다. 학생은 교사가 적어 준 두 변형을 그대로 옮기는 데 그치지 않고, “4와 9가 각각 완전제곱이라서 근호 밖으로 나올 수 있다”고 설명한다. 교사는 “같은 근호가 된 뒤에는 무엇을 더하니?”라고 묻고, 학생은 √3이 같은 두 항의 공통 부분임을 표시한다.

따라서 수정 풀이는 √12+√27=2√3+3√3=5√3이다. 처음 풀이에서는 12와 27을 근호 안에서 더해 √39로 만들었지만, 수정 풀이에서는 각 근호를 먼저 간단히 한 뒤 근호 밖의 계수 2와 3을 더했다. 학생은 마지막 줄에 “√3 다섯 개”라고 적어, 2√3+3√3이 5√3이 되는 이유를 식과 말로 함께 남긴다.

같은 계산을 반복하지 않는 검산

검산은 원래 식을 다시 계산해 같은 답을 반복해서 쓰는 방식으로 진행하지 않는다. 먼저 변형된 항을 제곱해 확인한다. (2√3)²=2²×3=12이고, (3√3)²=3²×3=27이므로 √12=2√3과 √27=3√3이라는 변형이 각각 조건에 맞는다. 그다음 2√3와 3√3은 같은 √3을 각각 두 개와 세 개 가진 표현이므로 합이 √3 다섯 개, 즉 5√3이라는 점을 확인한다. 이렇게 제곱을 이용한 변형 확인과 동류근호의 개수 비교를 나누어 실시하면, 단순히 답을 다시 적은 것과 구별할 수 있다.

계수와 뺄셈이 함께 있는 새 조건

이제 새 문제로 2√12−√27을 간단히 하라를 제시한다. 이번에는 항 앞의 계수 2가 있고 덧셈이 아니라 뺄셈이라는 조건이 달라졌다. 그러나 유지되는 원리는 같다. 학생은 먼저 √12=2√3, √27=3√3으로 정리한 뒤, 첫 항의 계수까지 반영해 2×2√3−3√3=4√3−3√3=√3이라고 직접 쓴다. 원식의 첫 항은 √12 두 개이므로 4√3이 되고, 여기서 3√3을 빼면 √3 하나가 남는다는 설명도 덧붙인다.

다음 확인에서는 대표 문제와 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 각 항의 제곱 인수를 따로 찾고, “덧셈은 근호 안으로 합칠 수 없으므로 먼저 근호를 정리한다”는 이유까지 도움 없이 말하는지 확인한다. 막히면 그 문장까지만 다시 보여 준 뒤 다음 계산은 직접 쓰게 하며, 2√12−√27=√3을 계수와 뺄셈의 순서에 맞게 완성하는지, 그리고 4√3−3√3이라는 근거를 남기는지를 관찰한다.