주월동 고등수학과외

“부호와 별도로 절댓값은 어떻게 변하는가?”

수열의 극한을 공부할 때 부호가 번갈아 바뀐다는 사실만 보고 곧바로 발산이라고 판단하면 안 된다. 먼저 “부호와 별도로 절댓값은 어떻게 변하는가?”라고 묻고, 학생이 처음 적은 식과 답변을 직접 대조하게 한다. 문제는 $a_n=(-1)^n/n,\ n\ge1$의 극한을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “부호가 번갈아 나오니 발산”이라고 말한 까닭을 확인한다. 실제로 몇 항을 적어 보면 $-1, 1/2, -1/3, 1/4,\ldots$처럼 부호는 계속 바뀌지만 항의 크기는 $1/n$으로 작아진다. 따라서 진동한다는 모양과 한 값에 가까워지는지를 구별해야 한다.

짝수·홀수 항과 양쪽 경계로 풀이 점검

수열은 항 번호 $n$이 양의 정수 범위에서 커질 때의 변화를 보는 대상이다. 교사는 짝수 항과 홀수 항을 나누어 보도록 기준을 제시하고, 학생이 직접 계산하고 표시하게 한다. $n=2k$일 때 $a_{2k}=1/(2k)$, $n=2k-1$일 때 $a_{2k-1}=-1/(2k-1)$이므로 두 부분 모두 0에 가까워진다. 또는 모든 $n\ge1$에 대해 $-1/n\le a_n\le1/n$이라고 쓸 수 있다. 양쪽 경계가 모두 0으로 가므로 학생은 “양 경계가 0으로 가므로 극한은 0”이라고 수정해 적는다. 이때 $-1/n\le a_n\le1/n$의 방향과 $n\ge1$이라는 조건을 함께 표시하게 한다.

정답은 $0$이다. 검산할 때는 $|a_n|=1/n\to0$임을 확인한다. 부호가 어느 쪽이든 절댓값이 0으로 가까워지므로 양의 항과 음의 항 모두 같은 값 0에 접근한다. 여기서 몇 항의 소수값만 보고 결론을 내리지 않고, 일반항의 구조와 부등식이 모든 $n\ge1$에서 성립하는지를 확인해야 한다. 반대로 항이 일정한 구간 안에 있다는 사실만으로 수렴한다고 할 수도 없다. 구간 안에 머무르면서 서로 다른 값 사이를 계속 오갈 수 있기 때문이다.

표현을 바꾼 문제에서 같은 근거 다시 쓰기

풀이와 정답을 가린 상태에서 문제와 $n\ge1$이라는 조건만 남겨 다시 판단하게 한다. 이번에는 부호가 번갈아 바뀌는 구조는 같지만 항의 크기가 줄어들지 않는 $a_n=(-1)^n$을 제시한다. 학생은 $a_{2k}=1,\ a_{2k-1}=-1\ (k\ge1)$을 직접 적는다. 짝수 번호 항은 계속 1, 홀수 번호 항은 계속 -1이므로 전체 수열은 한 값에 가까워지지 않는다. 정답은 발산, 즉 진동이다. -1과 1 사이에 있다는 사실만으로 수렴을 판단할 수 없으며, 두 부분 수열이 서로 다른 값에 계속 머문다는 점이 핵심 근거다. 마지막으로 학생이 “진폭이 줄어드는 진동에서는 $|a_n|\to0$인지, 줄어들지 않는 진동에서는 홀수·짝수 항이 서로 다른 값으로 남는지”를 다시 적게 한다. 다음 확인에서도 일반항을 먼저 정리하고, 필요하면 홀수 번호와 짝수 번호의 항을 나누어 같은 근거를 적용하는지 살핀다.