청학동 고등수학과외

π/2에서 빠진 조건 찾기

탄젠트가 정의되는지 묻는 대표 문제는 “θ=π/2에서 tanθ가 정의되는가?”이다. 이렇게 답했다면, “sinθ=1이므로 tanθ=1”이라는 오답은 사인값을 확인한 뒤 탄젠트의 성립 조건을 살피지 않은 경우다. 먼저 tanθ=sinθ/cosθ에서 분모가 얼마인지 직접 표시하게 한다. 또 θ가 도 단위인지 라디안 단위인지, 단위원에서 동경이 어느 위치에 놓이는지 확인한다. 직각삼각형에서 두 변의 길이를 양수로 다루던 비율을 모든 각에 그대로 적용했는지도 질문한다. 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 각의 단위와 동경 그림을 학생이 직접 적고 그 결과를 식과 대조하게 한다.

단위원 좌표와 분모를 함께 계산하기

호도법에서는 180°가 π라디안이므로 π/2는 90°에 해당한다. 단위원에서 각 θ의 끝점 좌표는 (cosθ, sinθ)이고, 이 좌표의 부호와 값이 각의 위치를 결정한다. θ=π/2일 때 끝점은 (0,1)이므로 sinθ=1이지만 cosθ=0이다. 따라서 탄젠트는 1/0이 되어 정의되지 않는다. 학생에게 “분모인 cosθ가 0이면 이 등식의 값은 무엇인가?”라고 묻고, 계산 결과와 성립 조건을 각각 한 줄씩 쓰게 한다. 그래프에서도 x=π/2는 함수값을 찍을 수 있는 점이 아니라 수직 점근선의 위치임을 대조한다. 이때 단순히 sin값이 1이라는 사실과 tan값이 존재한다는 판단은 서로 다른 주장임을 구분한다.

조건을 남긴 채 다른 각에 다시 적용하기

수정 풀이는 “tan(π/2)=sin(π/2)/cos(π/2)=1/0이므로 정의되지 않는다”가 된다. 같은 문제의 표현만 바꾼 것과 실제 조건이 달라진 문제를 구별하려면, 문제와 필수 자료만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 각의 단위를 붙이고 동경을 그린 뒤, 분모가 0인지 확인하는 순서를 유지한다. 이어 단위원에서 sin(13π/6)을 구한다면 13π/6=2π+π/6으로 나누고, 한 바퀴를 더한 동경은 π/6과 같은 끝점을 가지므로 값은 1/2이다. π보다 크다는 이유만으로 부호를 정하지 않고 실제 사분면과 좌표를 확인한다. 마지막으로 학생이 계산값 1/2와 ‘cosθ가 0이 아닌가’라는 성립 조건을 따로 적었는지 살핀다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업에서는 숫자만 대입하는 데서 멈추지 않고, 각의 위치·분모·함수의 정의 여부를 다시 대조하게 한다.