평화동 고등수학과외

예시 오답과 “a=1” 검산을 나란히 보기

로그의 정의와 성질을 공부할 때는 식을 빠르게 조작하기보다, 먼저 로그가 실수로 정의되는 조건을 확인해야 한다. 예를 들어 “실수 a에 대해 logₐ4가 정의되는 a의 범위를 구하라”는 문제에서 이렇게 답했다면 어떨까. “a≠0이므로 a는 0이 아닌 모든 실수이다.” 이 결과에는 음수와 1까지 포함되어 있다. 그러나 정의를 이용해 검산하면 빠진 조건이 보인다. logₐ4=c라는 식은 aᶜ=4라는 뜻이다. 특히 a=1이면 1ᶜ=4를 만족하는 실수 c가 있는가를 직접 묻게 된다. 1ᶜ는 어떤 실수 c에서도 1이므로 4가 될 수 없다. 따라서 a=1은 포함할 수 없다. 음수 밑도 실수 로그의 밑 조건에 맞지 않으며, a=0 역시 밑으로 허용되지 않는다.

이때 오답 하나만 보고 곧바로 원인을 단정하지 않는다. “로그의 밑과 진수 조건을 알고 있었는가?”, “로그의 곱셈 법칙을 덧셈 법칙처럼 잘못 사용한 것은 아닌가?”를 확인한다. 학생이 밑과 진수를 직접 표시하고, 각각 어떤 조건을 가져야 하는지 말하게 하면 단순한 기호 실수인지 정의의 공백인지 구분할 수 있다.

정의를 식으로 바꾸고 조건을 학생의 줄로 잇기

교사는 logₐb=c와 aᶜ=b를 비교해 보여 주며, 로그의 성질도 이 정의가 성립하는 범위 안에서만 적용된다고 설명한다. 실수 로그에서는 밑에 a>0, a≠1이 필요하고 진수에는 b>0이 필요하다. 여기서 풀이를 대신 완성하지 않고 “이 조건을 원래 문제에 어떻게 반영할까?”라고 멈춘다. 학생이 직접 조건을 적고, 문제의 진수 4가 양수인지 표시하게 한다.

학생은 4>0이므로 진수 조건은 이미 만족한다고 판단한다. 따라서 남는 밑의 조건은 a>0, a≠1이다. 결론은 a>0이고 a≠1이다. 0과 음수는 실수 로그의 밑 조건 밖이며, 양수 중 1을 제외한 범위에서는 logₐ4가 정의된다. a=1을 제외해야 하는 이유는 단순 암기가 아니라 1ᶜ=4가 불가능하다는 정의의 검산으로 확인할 수 있다. 수치 대입은 이 제외 조건을 확인하는 반례로 쓰고, 전체 범위의 근거는 밑과 진수의 일반 조건으로 설명한다.

조건을 남긴 채 가리고 다시 적용하기

다음 점검에서는 앞 문제의 풀이와 정답을 보이지 않게 가린 뒤, 문제와 조건만 남겨 독립적으로 시작한다. 경계값과 제외 조건부터 표시하게 하면 풀이가 기호 조작에 끌려가지 않는다. 이어서 log₂(x−3)이 실수로 정의되는 x를 구하게 한다. 이번에는 변수가 밑이 아니라 진수에 있으므로 밑 2의 조건은 이미 만족하고, 진수 x−3에 대해 x−3>0을 세워야 한다.

왜 진수가 양수여야 하는지는 지수식으로 바꾸어 확인한다. log₂(x−3)=c라면 2ᶜ=x−3이다. 어떤 실수 c에서도 2ᶜ=0이 될 수 없으므로 x−3은 양수여야 한다. 따라서 x>3이고, 정답은 x>3이다. x=3을 대입하면 log₂0이 되어 정의되지 않으며, x>3이면 진수가 양수라 조건을 만족한다. 두 문제는 모두 로그의 정의 조건을 확인하지만, 첫 문제는 변수가 밑에 있어 a>0, a≠1을 검사했고 두 번째는 변수가 진수에 있어 x−3>0을 세웠다는 차이가 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 같은 로그 기호를 보고도 밑과 진수를 먼저 구별하고, 지수식으로 바꾸어 같은 값을 나타내는지 확인하는 습관까지 이어 간다.