용담동 초등수학과외

원주는 같지만 반지름이 다를 수 있을까?

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 실로 원의 테두리를 따라 길이를 재어 보니 두 원의 원주가 모두 31.4cm로 같았습니다. 이때 “테두리 길이만 같고 원의 크기는 다를 수 있으니 반지름도 마음대로 다를 수 있다”라고 말할 수 있습니다. 그러나 이 문제에서는 두 원에 같은 원주율 3.14를 사용하므로 그 해석은 조건에 맞지 않습니다. 원주는 지름에 원주율을 곱한 값이기 때문에, 원주가 같으면 지름도 같고 반지름도 같아집니다. 다만 활동 전에 아이가 지름과 반지름을 구별하는지, 주어진 원주율을 이용해 곱하고 나눌 수 있는지는 자료를 보며 확인할 내용으로 둡니다.

반지름과 지름이 표시된 원 모형, 원의 테두리를 따라 놓을 실, 원 안을 덮을 수 있는 종이를 준비합니다. 실이 따라가는 것은 원의 둘레인 원주이고, 종이가 덮는 것은 원 내부의 넓이이므로 두 자료가 나타내는 양이 다르다는 점도 함께 구분합니다. 실제로 실을 원 둘레에 맞춰 놓고, 종이를 원 안에 겹치지 않게 놓아 보면 테두리의 길이와 안쪽을 덮는 크기를 같은 것으로 세면 안 된다는 점을 확인할 수 있습니다.

31.4cm를 지름과 반지름으로 바꾸기

교사는 먼저 두 원의 테두리를 가리키며 “두 원의 원주가 각각 얼마인가요?”라고 묻고, 아이가 자료에서 31.4cm를 찾아 보게 합니다. 이어 원주 식인 원주＝지름×3.14를 보여 주며, 원주에서 지름을 구하려면 31.4를 3.14로 나눈다는 과정을 한 부분만 시범 보일 수 있습니다. 31.4÷3.14＝10cm이므로 두 원의 지름은 각각 10cm입니다. 지름은 원의 중심을 지나 양쪽 테두리를 잇는 길이이고, 반지름은 중심에서 테두리까지의 길이이므로 반지름은 지름의 절반입니다.

이제 아이가 두 원 모형에서 지름 표시를 짚고, 지름을 2등분해 반지름을 나타내도록 합니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하지 못해도 지름 선의 가운데를 가리키거나, 실을 절반 길이로 접거나, 반지름 표시를 그려 보이면 이해를 확인할 수 있습니다. 계산은 31.4÷3.14÷2＝5cm입니다. 반지름 5cm를 다시 원주 식에 넣으면 5×2×3.14＝31.4cm가 되어 처음 주어진 원주가 나옵니다. 따라서 같은 원주율을 적용하는 두 원에서 원주가 같다면 지름과 반지름도 같습니다.

자료를 처음 상태로 놓고 다시 풀어 보기

교사의 설명 뒤에는 문제와 두 원 모형, 실, 원 안에 놓을 종이는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 다시 시도합니다. 모형을 이미 정답 상태로 만들어 두지 않고, 아이가 두 원에 원주 31.4cm를 나타내는 실을 놓은 뒤 원주를 3.14로 나누어 지름을 구하게 합니다. 이어 각 지름을 2로 나누어 반지름을 정하고, 두 원 모형에서 같은 길이인지 비교합니다. 아이가 먼저 한 원의 지름을 정했다면 다른 원에도 같은 길이의 선을 놓아 보고, 두 원의 반지름이 모두 5cm인지 확인하게 합니다. 마지막에는 반지름 5cm와 지름 10cm를 다시 원주 식에 연결해 31.4cm가 나오는지 계산하거나, 실의 길이를 비교해 답의 근거를 보여 주도록 합니다.

넓이 문제로 바꾸어 적용하기

다음에는 조건이 달라집니다. 반지름이 7cm인 원 모양 종이를 여러 조각으로 나누어 겹침 없이 재배열하고, 원주율은 3.14로 둡니다. 이 문제의 중심은 원주를 구하는 것이 아니라 종이 조각이 덮는 넓이가 어떻게 유지되는지 살피는 것입니다. 원의 넓이는 반지름×반지름×원주율이므로 7×7×3.14＝153.86cm²입니다. 아이가 조각을 옮겨 모양을 바꾸더라도 종이의 일부를 버리거나 겹치게 하지 않았다면 덮는 전체 넓이는 약 153.86cm²로 보존됩니다. 이때 실이 나타내던 원주와 종이가 나타내는 넓이를 다시 구분하고, 기본 문제와 새 문제에서 바뀐 것은 자료와 질문이며 원주율 3.14는 그대로라는 점을 살펴봅니다. 다음 확인에서는 아이가 31.4÷3.14÷2＝5라는 답만 기억하는지, 또는 원주를 지름으로 바꾸고 다시 반으로 나누는 과정을 자료와 식으로 보여 주는지 확인합니다.