도안동 중등수학과외

−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수부터 확인하기

수업은 “−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수를 구하라”는 질문으로 시작한다. 학생은 음의 근호가 붙으면 양수일 때와 정수의 순서가 어떻게 달라지는지 잠시 멈춰 생각한다. 교사는 바로 계산을 대신하지 않고 “−√30은 0보다 클까, 작을까?”라고 묻는다. 학생이 먼저 근호 값의 부호를 정하도록 한 뒤, 양의 근호의 정수 부분을 묻는 문제와 비교할 수 있도록 두 질문을 나란히 적는다.

도안동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 부호와 문제의 조건을 나란히 놓고, 어느 시점에 판단이 달라졌는지 확인한다. 지금 필요한 것은 숫자를 빠르게 계산하는 일이 아니라, 근호 안의 수가 양수이고 앞에 붙은 −가 전체 값의 부호를 바꾼다는 사실을 풀이의 첫 단계에 남기는 것이다. 학생에게는 “부호를 먼저 표시해 보자”는 정도의 도움만 제공하고, 경계가 되는 정수와 최종 답은 직접 정하게 한다.

√30의 위치를 양의 정수 경계로 찾기

비교할 대표 문제는 “√30이 어느 두 연속한 정수 사이에 있는지 구하고 정수 부분을 말하라”이다. 학생은 처음에 −6<√30<−5라고 작성했다. 다만 제곱수 사이를 찾으려 한 점은 맞았다. 30이 25와 36 사이에 있다는 방향으로 접근하려 했지만, 근호 값의 부호를 음수로 처리하면서 첫 판단이 달라졌다.

교사는 “근호 값의 부호가 무엇이지?”라고 짧게 다시 묻는다. 학생은 “√30은 양수”라고 말하지만, 처음 풀이에는 음의 경계를 적었다. 이처럼 말로 알고 있는 내용과 실제 식에 반영한 내용을 나란히 보면, 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 부호 판단과 제곱수 비교 중 어느 지점에서 어긋났는지 좁혀 갈 수 있다. 학생이 양수라고 답한 뒤에도 식을 다시 쓰는지 확인하는 것이 중요하다.

교사는 양수 구간에서는 제곱이 크기 순서를 유지한다는 사실만 한 단계 시범으로 보인다. “√30은 양수이므로 양의 정수 경계를 사용한다”는 설명 뒤에 5와 6을 표시하고, 30이 어느 제곱수 사이에 놓이는지는 학생이 이어서 완성하게 한다. 학생은 풀이의 첫 줄을 고쳐 5²=25<30<36=6²라고 쓴다. 따라서 5<√30<6이고, 정수 부분은 5라고 정리한다.

같은 경계를 음수로 옮길 때 순서 확인하기

수정한 결과는 제곱수 대조로 확인한다. 30은 25와 36 사이에 있으므로 √30은 5와 6 사이에 있어야 한다. 이 검산은 처음의 음의 경계 식을 반복하는 방식이 아니라, 양의 구간에서 제곱이 크기 순서를 유지한다는 조건으로 경계를 확인하는 방법이다. 학생은 “먼저 근호 값의 부호를 정하고, 그다음 제곱수 사이에 끼운다”고 자신의 순서를 말하게 된다.

이제 처음 제시한 새 조건으로 돌아가 “−√30을 넘지 않는 가장 큰 정수”를 푼다. 이미 5<√30<6을 얻었으므로 양변에 −를 곱할 때 부등호 방향이 바뀌어 −6<−√30<−5가 된다. −√30보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 수를 고르면 −6이다. −5는 −√30보다 크므로 조건을 만족하지 않고, −6은 −√30보다 작으므로 조건에 맞는다. 따라서 답은 −6이다.

다음 문제에서는 √30 대신 같은 양의 근호를 먼저 확인한 뒤, 음의 근호 이하의 최대 정수를 묻게 한다. 학생은 도움 없이 근호 값의 부호를 첫 줄에 표시하고, 5²와 6²를 비교한 다음 부호를 반전한 부등식을 직접 적어야 한다. 교사는 정답 −6만 보는 것이 아니라, “양수 경계를 찾은 뒤 음수로 바꾸면 순서가 바뀐다”는 근거를 식과 말로 함께 남기는지 확인한다.